Giáo trình xác suất thống kê – TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÀI – StuDocu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

NGUYỄN THỊ THU THỦY

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

HÀ NỘI – 01 /

MỤC LỤC

MỤC LỤC

  • Chương 1. Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
    • 1 Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện
      • 1.1 Phép thử. Sự kiện
      • 1.1 Phân loại sự kiện
      • 1.1 Quan hệ giữa các sự kiện
    • 1 Giải tích kết hợp
      • 1.2 Quy tắc cộng. Quy tắc nhân
      • 1.2 Chỉnh hợp
      • 1.2 Chỉnh hợp lặp
      • 1.2 Hoán vị
      • 1.2 Tổ hợp
    • 1 Khái niệm và các định nghĩa xác suất
      • 1.3 Khái niệm xác suất
      • 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất
      • 1.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học
      • 1.3 Định nghĩa thống kê về xác suất
      • 1.3 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn
    • 1 Công thức cộng và nhân xác suất
      • 1.4 Xác suất có điều kiện
      • 1.4 Công thức nhân xác suất
      • 1.4 Công thức cộng xác suất
    • 1 Công thức Béc–nu–li
      • 1.5 Dãy phép thử độc lập
      • 1.5 Lược đồ Béc–nu–li
      • 1.5 Công thức Béc–nu–li
      • 1.5 Số có khả năng nhất trong lược đồ Béc–nu–li
      • 1.5 Công thức xấp xỉ
    • 1 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét
      • 1.6 Công thức xác suất đầy đủ
      • 1.6 Công thức Bay–ét

      • 3.6 Hiệp phương sai
      • 3.6 Hệ số tương quan
    • 3 Hàm của hai biến ngẫu nhiên
    • 3 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm
      • 3.8 Luật số lớn
      • 3.8 Định lý giới hạn trung tâm
  • Chương 4. Thống kê. Ước lượng tham số
    • 4 Lý thuyết mẫu
      • 4.1 Tổng thể và mẫu
      • 4.1 Mẫu ngẫu nhiên
      • 4.1 Mô tả giá trị của mẫu ngẫu nhiên
      • 4.1 Đại lượng thống kê và các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên
      • 4.1 Cách tính giá trị cụ thể của trung bình mẫu và phương sai mẫu
        • tần suất mẫu ngẫu nhiên 4.1 Phân phối xác suất của các thống kê trung bình mẫu, phương sai mẫu,
    • 4 Ước điểm cho kỳ vọng, phương sai và tỷ lệ
      • 4.2 Ước lượng điểm
      • 4.2 Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng
      • 4.2 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất
      • 4.2 Một số phương pháp tìm ước lượng điểm
    • 4 Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy
      • 4.3 Khoảng tin cậy của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
      • 4.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ
  • Chương 5. Kiểm định giả thuyết
    • 5 Các khái niệm
      • 5.1 Giả thuyết thống kê
      • 5.1 Tiêu chuẩn kiểm định. Mức ý nghĩa. Miền bác bỏ
      • 5.1 Sai lầm loại 1. Sai lầm loại
    • 5 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
      • 5.2 Trường hợp đã biết phương sai
      • 5.2 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫun<
      • 5.2 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫun≥
    • 5 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ
      • 5.3 Bài toán
      • 5.3 Các bước tiến hành
    • 5 So sánh hai kỳ vọng của hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
      • 5.4 Trường hợp phương sai σ 12, σ 22 đã biết
  • MỤC LỤC
    – 5.4 Trường hợp phương sai σ 12, σ 22 chưa biết, cỡ mẫun 1 <30,n 2 < - 5.4 Trường hợp phương sai σ 12, σ 22 chưa biết, cỡ mẫun 1 ≥30,n 2 ≥
    • 5 So sánh hai tỷ lệ
      • 5.5 Bài toán
      • 5.5 Các bước tiến hành
  • Chương 6. Phụ lục các bảng số
    • 6 Phụ lục các bảng số
      • 6.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ
      • 6.1 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ
      • 6.1 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc
      • 6.1 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student
      • 6.1 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông
    • 6 Hướng dẫn sử dụng các bảng số
      • 6.2 Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1)
      • 6.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2)
      • 6.2 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3)
      • 6.2 Bảng giá trịtn 1 − α của phân phối Student (Phụ lục 4)
  • MỤC LỤC

Chương 1. Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước kết
quả) hoặc tất định (biết trước kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn một vật nặng được thả từ trên
cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất, trong điều kiện bình thường nước sôi ở 100∘C…Đó là những
hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất nhiên. Trái lại, khi tung đồng xu ta không biết sẽ xuất
hiện mặt sấp hay mặt ngửa; ta không thể biết trước có bao nhiêu cuộc gọi đến tổng đài; có
bao nhiêu khách hàng đến điểm phục vụ trong khoảng thời gian nào đó; ta không thể xác
định trước chỉ số chứng khoán trên thị trường chứng khoán…Đó là những hiện tượng ngẫu
nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những
hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra những kết luận có tính quy
luật về những hiện tượng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng
ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó
sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng
rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự
nhiên, kỹ thuật và kinh tế–xã hội.

1 Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện

1.1 Phép thử. Sự kiện

Định nghĩa 1 (Phép thử. Sự kiện). (a) Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để
quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử (experiment).

( b ) Hiện tượng, tác dụng xét trong phép thử gọi là sự kiện hay biến cố ( sự kiện ) .( c ) Sự kiện sơ cấp hay kết cục của phép thử là một hiệu quả mà ta không chia nhỏ hơn được, ký hiệu là ω. ( d ) Sự kiện phức tạp là sự kiện hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành những sự kiện nhỏ hơn .

6

( e ) Tập hợp toàn bộ những kết cục của một phép thử tạo thành khoảng trống những sự kiện sơ cấp, ký hiệu là Ω = { ω i, i ∈ I }, Ilà tập chỉ số .

Ví dụ 1. (a) Gieo một con xúc xắc (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép
thử. Xúc xắc xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm là các sự kiện.
(b) Gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép thử. Đồng xu
xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa là các sự kiện.

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc, khi đó

( a ) Sự kiệnAi ” Open mặtichấm “, i = 1, …, 6 là sự kiện sơ cấp. ( b ) Sự kiệnA ” Open mặt chấm chẵn ” là sự kiện phức tạp vì hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích nó thành những sự kiện ” Open mặt 2, 4, 6 chấm ” .

Ví dụ 1. (a) Phép thử gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có
không gian các sự kiện sơ cấp làΩ={S,N}.
(b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có không
gian các sự kiện sơ cấp làΩ={SS,SN,NS,N N}.

Chú ý 1. (a) Chú ý rằng bản chất của các sự kiện sơ cấp không có vai trò đặc biệt gì trong
lý thuyết xác suất. Chẳng hạn có thể mã hóa các kết quả và xem không gian các sự kiện
sơ cấp của phép thử tung đồng xu làΩ={0, 1}, trong đó 0 là sự kiện sơ cấp chỉ mặt
sấp xuất hiện và 1 để chỉ mặt ngửa xuất hiện.
(b) Mỗi kết cục ω của phép thử𝒞được gọi là kết cục thuận lợi cho sự kiệnAnếuAxảy ra
khi kết cục của phép thử𝒞là ω.

Ví dụ 1. Nếu gọi sự kiệnA”xuất hiện mặt chấm chẵn” trong phép thử gieo con xúc xắc thì
Acó các kết cục thuận lợi là 2, 4, 6.

1.1 Phân loại sự kiện

Có 3 loại sự kiện .

(a) Sự kiện chắc chắn là sự kiện nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là
UhoặcΩhoặcS.
(b) Sự kiện không thể có là sự kiện nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký
hiệu làVhoặc∅.
(c) Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra, cũng có thể không xảy ra khi thực hiện một
phép thử. Ký hiệu làA,B,C,A 1 ,A 2 …

  1. Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện 7

Hình 1 : Hai sự kiện xung khắc

(d) Sự kiện xung khắc: Hai sự kiệnAvàBđược gọi xung khắc với nhau nếu chúng không
đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.
Như vậy, nếuAvàBxung khắc thìA∩B=∅.

(e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy ra sự kiệnAđược gọi là sự kiện đối lập củaA, ký
hiệu làAhoặcAc.
Như vậyAvàAthỏa mãn tính chất:A∪A=SvàA∩A=∅.

Hình 1 : Sự kiện trái chiều

(f) Hiệu hai sự kiện: Hiệu của 2 sự kiệnAvàB, ký hiệu làA−B, là sự kiện xảy ra khi và
chỉ khiAxảy ra nhưngBkhông xảy ra.
Trường hợp hay sử dụng sự kiện hiệu:A=S−A,A=S−A.
Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành sự kiện tích như sau:A−B=A∩B.
(g) Hệ (nhóm) đầy đủ các sự kiện: Hệ (nhóm)nsự kiệnA 1 ,A 2 ,…, Anđược gọi là hệ
(nhóm) đầy đủ các sự kiện nếu nhất định phải xảy ra một và chỉ một trong các sự kiện
ấy sau phép thử. Như vậy hệ{A 1 ,A 2 ,… ,An}là hệ đầy đủ nếu


Ai ∩ Aj = ∅, i ̸ = j, A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An = S .

  1. Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện 9

Nhận xét 1. Các sự kiện trong cùng một phép thử với phép toán tổng, tích và lấy sự kiện
đối tạo thành đại số Boole, do đó các phép toán này có các tính chất như các phép toán hợp,
giao, lấy phần bù đối với các tập con của không gian các sự kiện sơ cấp. Chẳng hạn

  1. A∩∅=∅. 6. ∅=S.
  2. A∪∅=A. 7. (A) =A.
  3. A∩A=∅. 8. (A∩B) =A∪B.
  4. A∪A=S. 9. (A∪B) =A∩B.
  5. S=∅. 10. A∪B=A∩B; A∩B=A∪B.
  6. A=A∩(B∪B) = (A∩B)∪(A∩B).

Chú ý 1. (a) Mọi sự kiện ngẫu nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số sự
kiện sơ cấp nào đó.
Sự kiện chắc chắnSlà tổng của mọi sự kiện sơ cấp có thể. Do đóScòn được gọi là không
gian các sự kiện sơ cấpΩ.
(b) Đối với một sự kiệnAthì ta có hệ đầy đủ

A,A
©
.

Đối với hai sự kiệnAvàB, một hệ rất đầy đủ là

A∩B,A∩B,A∩B,A∩B
©
.

Tính chất 1. (a) A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(giao hoán).

( b ) A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ), A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ( tích hợp ). ( c ) A ∩ ( B ∪ C ) = A ∩ B ∪ A ∩ C ( phân phối của phép cộng và phép nhân ). Đặc biệtA + A = A ; AA = A ; A + S = S ; AS = A ; A + ∅ = A ; A ∅ = ∅ .

Ví dụ 1. (a) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc nối tiếp. GọiAilà sự kiện “bóng đèn
thứibị cháy”,i=1, 2, 3. GọiAlà sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mất
điện khi ít nhất một trong ba bóng bị cháy. VậyA=A 1 +A 2 +A 3.
(b) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc song song. GọiBilà sự kiện “bóng đèn thứibị
cháy”,i=1, 2, 3. GọiBlà sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mất điện khi
cả ba bóng bị cháy. VậyB=B 1 B 2 B 3.
(c) Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Giả sử rằng mỗi
sản phẩm của nhà máy chỉ do một trong ba phân xưởng này sản xuất. Chọn ngẫu nhiên
một sản phẩm, gọiCilà sự kiện “sản phẩm được chọn do phân xưởng thứisản xuất”,
i=1, 2, 3. Khi đó hệ ba sự kiện{C 1 ,C 2 ,C 3 }là hệ đầy đủ.

Ví dụ 1. Ba xạ thủ A, B, C mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu. GọiA 1 ,A 2 ,A 3 lần lượt
là sự kiện “A, B, C bắn trúng mục tiêu”.

  1. Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện 10

Ví dụ 1. Giả sử để đi từ A đến C có thể đi qua B, trong đó có 2 đường khác nhau đi trực tiếp
từ A đến C, có 3 đường khác nhau để đi từ A đến B và có 2 đường khác nhau để đi từ B đến
C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?

Lời giải: Đi từ A đến C có 2 lựa chọn: Đi trực tiếp từ A đến C: cón 1 = 2 cách; đi gián tiếp từ
A đến C thông qua B: cón 2 = 3 × 2 = 6 (cách).
Tổng số cách đi từ A đến C làn=n 1 +n 2 = 2 + 6 = 8 (cách).

1.2 Chỉnh hợp

Định nghĩa 1 (Chỉnh hợp). Chỉnh hợp chậpkcủanphần tử là một nhóm có thứ tự gồmk
phần tử khác nhau lấy từnphần tử đã cho (k≤n).

Ký hiệu và công thức tính :Akn = ( n − n ! k ) ! = n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) ( 1 )

Ví dụ 1. Từ 5 chữ số1, 2, 3, 4, 5lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải: Số các số được lập làA 35 = 5 × 4 × 3 = 60 (số).

1.2 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1 (Chỉnh hợp lặp). Chỉnh hợp lặp chậpkcủanphần tử là một nhóm có thứ tự
gồmkphần tử có thể giống nhau lấy từnphần tử đã cho.

Ký hiệu và công thức tính :Akn = nk ( 1 )

Ví dụ 1. Từ 5 chữ số1, 2, 3, 4, 5lập được bao nhiêu số có 3 chữ số?

Lời giải: Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số có thứ tự và có thể lặp lại. Số các số được lập làA 35 = 53 =
125 (số).

1.2 Hoán vị

Định nghĩa 1 (Hoán vị). Hoán vị củanphần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặtnphần
tử đã cho. Nói cách khác, hoán vị là một chỉnh hợp chậpncủanphần tử.

Ký hiệu và công thức tính : Pn = Ann = n ! ( 1 )

Ví dụ 1. Có 6 người khách cần xếp vào 6 ghế trên một bàn tròn 6 chỗ.

  1. Giải tích kết hợp 12

( a ) Nếu có chăm sóc đến khung cảnh xung quanh thì có bao nhiêu cách sắp xếp ?( b ) Nếu chỉ chăm sóc đến người ngồi xung quanh là ai thì sẽ có bao nhiêu cách ?

Lời giải: (a)P 6 =6!= 720 (cách); (b)P 5 =5!= 120 (cách).

1.2 Tổ hợp

Định nghĩa 1 (Tổ hợp). Tổ hợp chậpkcủanphần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự
gồmkphần tử khác nhau lấy từnphần tử đã cho (k≤n).

Ký hiệu và công thức tính :Cnk = k ! ( nn − ! k ) ! ( 1 )

Ví dụ 1. Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trong 25 câu hỏi cho trước. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu đề thi có nội dung khác nhau?

Lời giải: Số đề thi có thể lập nên làC 253 = 25 × 24 3!× 23 = 2300 (đề).

Chú ý 1. (a) Qui ước0!= 1.

( b ) Cnk = Cnn − k .

(c) Cnk=Cnk−− 11 +Ckn− 1.
(d) Khai triển nhị thức Niu–tơn (a,b∈ R ,n∈ N *)

(a+b)n=

n

k = 0Cknan − kbk = C 0 nan + C 1 nan − 1 b + · · · + Cnn − 1 abn − 1 + Cnnbn .

1 Khái niệm và các định nghĩa xác suất

1.3 Khái niệm xác suất

Mọi sự kiện ngẫu nhiên đều giống nhau ở chỗ chúng không chắc như đinh, nhưng năng lực xảy ra của từng sự kiện lại hoàn toàn có thể khác nhau. Để đặc trưng cho năng lực xảy ra ( Open ) của những sự kiện người ta dùng những số lượng, sự kiện nào có năng lực xảy ra nhiều hơn được đặc trưng bởi số lớn hơn. Con số đặc trưng cho năng lực Open của một sự kiện gọi là xác suất của sự kiện đó .

Định nghĩa 1 (Xác suất). Xác suất (probability) của một sự kiệnAlà một số nằm giữa 0 và
1, số này đo lường khả năng xuất hiện của sự kiện đó khi phép thử được thực hiện.
Ký hiệu làP(A).

  1. Khái niệm và các định nghĩa xác suất 13

Ví dụ 1. Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ
sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:

( a ) toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người ;( b ) một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người ;( c ) mỗi toa có tối thiểu 1 người .

Lời giải: Số trường hợp đồng khả năng có thể có làn= 46 = 4096.

( a ) Số trường hợp thuận tiện cho sự kiệnA ” toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người ” làC 63 × C 23 × C 11 = 60, suy raP ( A ) = 409660 ≃ 0, 0146 .( b ) Số trường hợp thuận tiện cho sự kiệnB ” một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người ” làC 63 × 4 × C 23 × 3 × C 11 × 2 = 1440, suy raP ( B ) = 14404096 ≃ 0, 3516 .( b ) GọiClà sự kiện ” mỗi toa có tối thiểu 1 người “. Số trường hợp thuận tiện cho sự kiệnClà C 36 × 4 × 3 ! + C 26 × C 24 × C 24 × 2 ! = 480 + 1080 = 1560. Do đó, P. ( C ) = 15604096 ≃ 0, 3809 .

Ví dụ 1. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này
đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:

( a ) chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén ;( b ) một trong ba người đánh vỡ 3 chén ;( c ) một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén .

Lời giải: Số kết cục đồng khả năng có thể có làn= 34.

( a ) Số kết cục thuận tiện cho sự kiệnD ” chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén ” là mD = C 43 × 1 = 4, suy raP ( D ) = 814 ≃ 0, 0494 .( b ) Số kết cục thuận tiện cho sự kiện E ” một trong 3 người đánh vỡ 3 chén ” là mE = C 13 × C 34 × 2 = 24, nênP ( E ) = 2481 ≃ 0, 2963 .( c ) Số kết cục thuận tiện cho sự kiện F ” một trong 3 người đánh vỡ 4 chén ” là mF = C 31 × C 44 = 3. VậyP ( F ) = 813 ≃ 0, 037 .

Nhận xét 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm là dễ vận dụng tuy nhiên định nghĩa
này chỉ áp dụng được với các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả năng xảy ra. Trong
trường hợp có vô hạn kết cục đồng khả năng ta sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm
hình học.

  1. Khái niệm và các định nghĩa xác suất 15
1.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Định nghĩa 1 (Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học). Giả sử tập hợp vô hạn các
kết cục đồng khả năng của một phép thử có thể biểu thị bởi một miền hình họcG(đo được,
hữu hạn, khác 0), còn các kết cục thuận lợi choAbởi miền conHcủaG. Khi đó

P. ( A ) = độ đođộ đoHG ( 1 )

Chú ý 1. Tùy theoGlà đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian mà độ đo được hiểu
là độ dài, diện tích hay thể tích.

Ví dụ 1. Hai người bạn hẹn gặp nhau ở một địa điểm trong khoảng thời gian từ 7h00 đến
8h00. Mỗi người có thể đến điểm hẹn một cách ngẫu nhiên tại một thời điểm trong khoảng
thời gian nói trên và họ quy ước rằng ai đến trước thì chỉ đợi người kia trong vòng 10 phút.
Tính xác suất để hai người gặp nhau.

Lời giải: Gọix,ylần lượt là thời điểm đến điểm hẹn của hai người, 0 ≤x,y≤ 60. Vậy mỗi
cặp thời điểm đến(x,y)của hai người là một điểm của miền

G={(x,y)∈ R 2 : 0≤x≤60; 0≤y≤ 60 } (hình vuôngOABC).

GọiElà sự kiện ” hai người gặp nhau “, khi đóEđược màn biểu diễn bởiH = { ( x, y ) ∈ G : | x − y | ≤ 10 } ( đa giácOMNBPQ ) .Sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học ,P. ( E ) = diện tíchdiện tíchHG = diện tíchdiện tích ( OMNBPQ ( OABC ) ) = 60

2 − 502
602 =
11
36 ≃0, 3056.
C
60
60

yM x

N
A
P B
Q
C
O

Hình 1 : Minh họa cho Ví dụ 1 .

  1. Khái niệm và các định nghĩa xác suất 16

Nhận xét 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất và định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học
chỉ áp dụng được với các phép thử có kết cục đồng khả năng xảy ra. Trong nhiều bài toán
thực tế, việc tính hết các kết cục của một phép thử không dễ dàng, bên cạnh đó điều kiện các
kết cục đồng khả năng trên thực tế thường khó thỏa mãn.

1.3 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa 1 (Tần suất). Giả sử trong một điều kiện nào đó ta có thể lặp lạinlần một phép
thử và thấy cómlần xuất hiện sự kiệnA. Khi đó, tỷ sốmn gọi là tần suất xuất hiệnA, ký hiệu
làf(A).
Như vậy

f ( A ) = mn ( 1 )

Ví dụ 1. Để xác định tần suất xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu nhiều lần, người ta
ghi lại kết quả sau:

Người thí nghiệm Số lần tungn Số lần Open mặt sấpm Tần suấtf Buýp-phông 4040 2048 0, Piêc-sơn 12000 6019 0, Piêc-sơn 24000 12012 0 ,

Nhận xét 1. Tần suất của sự kiệnAcó tính chất ổn định, nghĩa là nó dao động rất ít xung
quanh một số xác địnhpnào đó khi số phép thử khá lớn. Số ấy gọi là xác suất của sự kiệnA
theo quan điểm thống kê.

Định nghĩa 1 (Định nghĩa thống kê về xác suất). Nếu tần suất xuất hiện sự kiệnAluôn
luôn dao động xung quanh một số xác địnhpnào đó và khi số phép thử tăng lên khá lớn mà
tần suất xuất hiện sự kiệnAcàng gần tớipthì sốpđược gọi là xác suất của sự kiệnAtheo
quan điểm thống kê.

Chú ý 1. Bằng định nghĩa thống kê về xác suất, người ta đã tìm được xác suất để sinh con
trai trong mỗi lần sinh làp=0, 518, con số này hầu như không thay đổi theo thời gian, địa
phương và chủng tộc.

( a ) Nhà toán học Láp – la – xơ trong 10 năm liền theo dõi ở thành phố Pê – tec – bua, Luân – đôn và Béc – lin thấy tỷ số đó là 22/43. Ông cũng đã theo dõi 40 năm liền ở Pa – ri thấy tỷ số đó là 25/49 .( b ) Nhà toán học Crame theo dõi ở Thụy – điển năm 1935 cũng thấy tỷ số đó là 0,518 .

Nhận xét 1. (a) Định nghĩa thống kê của xác suất khắc phục được một nhược điểm của
định nghĩa cổ điển là không dùng đến khái niệm đồng khả năng.

  1. Khái niệm và các định nghĩa xác suất 18

( b ) Định nghĩa này không giúp ta tính được đúng chuẩn xác suất của một sự kiện mà chỉ tìm được giá trị gần đúng ; đồng thời số phép thử phải đủ lớn và chỉ dùng được cho những phép thử ngẫu nhiên hoàn toàn có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong những điều kiện kèm theo giống nhau .Các định nghĩa trên về xác suất giúp ta một cách tích cực trong việc tính xác suất, nhưng mỗi định nghĩa đều có điểm yếu kém của nó. Để khắc phục những điểm yếu kém đó, năm 1933 nhà toán học Xô – viết Can – mơ – gơ – rôp đã đưa ra xác suất theo chiêu thức tiên đề. Tuy nhiên ta không đề cập đến trong chương trình này .

1.3 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn
1.3 Nguyên lý xác suất nhỏ

Sự kiện không hề có có xác suất bằng 0, một sự kiện có xác suất gần bằng 0 vẫn hoàn toàn có thể xảy ra khi triển khai 1 số ít lớn những phép thử. Tuy nhiên qua thực nghiệm và quan sát thực tiễn, người ta thấy rằng những sự kiện có xác suất nhỏ sẽ không xảy ra khi ta chỉ triển khai một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó ta thừa nhận nguyên tắc sau đây, gọi là “ Nguyên lý xác suất nhỏ ” : Nếu một sự kiện có xác suất rất nhỏ thì trong thực tiễn hoàn toàn có thể cho rằng trong một phép thử sự kiện đó sẽ không xảy ra ” .

Nhận xét 1. (a) Mức xác suất được coi là nhỏ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể và gọi là
mức ý nghĩa, ký hiệu là α.

(b) Nguyên lý xác suất nhỏ là cơ sở của phương pháp kiểm định (sẽ được đề cập ở Chương
5).

1.3 Nguyên lý xác suất lớn

Tương tự như trên, ta hoàn toàn có thể đưa ra nguyên tắc xác suất lớn : Nếu sự kiện A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tiễn hoàn toàn có thể cho rằng trong một phép thử sự kiện đó sẽ xảy ra ” .

Nhận xét 1. (a) Mức xác suất đủ lớn gọi là độ tin cậy, ký hiệu là γ = 1 − α. Việc quy định
một mức xác suất thế nào là lớn sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

( b ) Nguyên lý xác suất lớn là cơ sở của chiêu thức ước đạt bằng khoảng chừng đáng tin cậy ( sẽ được đề cập ở Chương 4 ) .

  1. Khái niệm và các định nghĩa xác suất 19

Source: https://ta-ogilvy.vn
Category: Đào Tạo