Số nguyên – Wikipedia tiếng Việt - The first knowledge sharing application in Vietnam

Trong toán học, số nguyên được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các số nguyên, trong khi 9,75,5 1/2 và √2 không phải là số nguyên.

Tập hợp các số nguyên bao gồm 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3,…), còn được gọi là số đếm,[1][1] và các nghịch đảo phép cộng của chúng (là các số nguyên âm, tức là, −1, −2, −3, …). Tập hợp các số nguyên thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền

(

)

{\displaystyle (\mathbb {Z} )}

$(\mathbb {Z} )$ với chữ cái “Z” bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (nghĩa là “số”).[2][3][4][5]

{\displaystyle \mathbb {Z} }

$\mathbb {Z}$ là một tập hợp con của tập hợp các số hữu tỷ

{\displaystyle \mathbb {Q} }

${\mathbb {Q}}$ , đến lượt nó là một tập hợp con của tập hợp các số thực

{\displaystyle \mathbb {R} }

${\mathbb {R}}$ . Giống như tập hợp các số tự nhiên,

{\displaystyle \mathbb {Z} }

là tập hợp vô hạn đếm được.

Các số nguyên tạo thành nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất chứa các số tự nhiên. Trong lý thuyết số đại số, các số nguyên đôi khi được coi là số nguyên hữu tỉ để phân biệt chúng với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trên thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số mà cũng là số hữu tỉ.

Bạn đang đọc: Số nguyên – Wikipedia tiếng Việt

Biểu tượng

{\displaystyle \mathbb {Z} }

có thể được dùng để biểu thị các tập hợp khác nhau, với cách sử dụng khác nhau giữa các tác giả khác nhau:

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}

$\mathbb {Z} ^{+}$ ,[2]

{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}

$\mathbb {Z} _{+}$ hoặc

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b674b889017afcd24e7b7d296f6d1746cefd2d94″/> đối với các số nguyên dương, Z0 +{\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}<img alt=$ hoặc

≥

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}

$\mathbb {Z} ^{\geq }$ cho các số nguyên không âm và

≠

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}

$\mathbb {Z} ^{\neq }$ cho các số nguyên khác 0. Một số tác giả sử dụng ký hiệu

∗

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}

$\mathbb {Z} ^{*}$ cho các số nguyên khác 0, trong khi những người khác sử dụng nó cho các số nguyên không âm hoặc cho {–1, 1}. Ngoài ra,

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\mathbb {Z} _{p}$ được sử dụng để biểu thị tập các số nguyên modulo p[2] (tức là tập các lớp đồng dư của các số nguyên) hoặc tập các số nguyên p -adic.[1][6][7]

Các số nguyên hoàn toàn có thể được coi là những điểm rời rạc, cách đều nhau trên một trục số dài vô hạn. Ở hình trên, những số nguyên không âm được hiển thị bằng màu xanh lam và số nguyên âm màu đỏ .Giống như những số tự nhiên, Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } là tập hợp đóng với những phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kể là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc gồm có cả những số nguyên âm ( và quan trọng là 0 ), Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }, không giống như những số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ. [ 8 ]Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị chức năng, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau : so với bất kể vành đơn vị chức năng nào, đều có một phép đồng cấu duy nhất từ những số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, đơn cử là một đối tượng người dùng khởi đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } .Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } không đóng với phép chia, vì thương của hai số nguyên ( ví dụ : 1 chia cho 2 ) hoàn toàn có thể không là số nguyên. Mặc dù những số tự nhiên là đóng với phép lũy thừa, nhưng những số nguyên thì không ( vì hiệu quả hoàn toàn có thể là một phân số khi số mũ là âm ) .

Bảng sau liệt kê một số tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với bất kỳ số nguyên a, b và c:

Tính chất của phép cộng và phép nhân trên số nguyên

Phép cộng

Phép nhân

Tính đóng:

a + b

là số nguyên

a \times b

là số nguyên

Tính kết hợp:

a + (b + c) = (a + b) + c

a \times (b \times c) = (a \times b) \times c

Tính giao hoán:

a + b = b + a

a \times b = b \times a

Tồn tại phần tử đơn vị:

a + 0 = a

a \times 1 = a

Tồn tại phần tử nghịch đảo:

a + (- a) = 0

Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo (gọi là đơn vị) là − 1 và 1.

Thuộc tính phân phối:

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

và

(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)

Không có ước số của 0:

Nếu

a \times b = 0

, thì

a = 0

hoặc

b = 0

(hoặc cả hai)

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên khẳng định rằng

{\displaystyle \mathbb {Z} }

là một nhóm abel với phép cộng. Nó cũng là một nhóm cyclic, vì mọi số nguyên khác 0 đều có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +… + 1 hoặc (−1) + (−1) +… + (−1). Trên thực tế,

{\displaystyle \mathbb {Z} }

với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất — theo nghĩa là bất kỳ nhóm tuần hoàn vô hạn nào đều là đẳng cấu với

{\displaystyle \mathbb {Z} }

Bốn thuộc tính tiên phong được liệt kê ở trên cho phép nhân nói rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải mọi số nguyên đều có nghịch đảo nhân ( như trường hợp của số 2 ), có nghĩa là Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } với phép nhân không phải là một nhóm .Tất cả những quy tắc từ bảng thuộc tính trên ( ngoại trừ quy tắc ở đầu cuối ), khi được tích hợp với nhau, nói rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên mẫu của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu trúc đại số như vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } cho tổng thể những giá trị của biến, thì cũng là đúng trong bất kể vành giao hoán có đơn vị chức năng nào. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong 1 số ít vành nhất định .Việc thiếu những ước số của 0 trong những số nguyên ( thuộc tính ở đầu cuối trong bảng ) có nghĩa là vành giao hoán Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } là một miền nguyên .

Việc thiếu các phép nghịch đảo của phép nhân, tương đương với thực tế là

{\displaystyle \mathbb {Z} }

không phải là đóng với phép chia, có nghĩa là

{\displaystyle \mathbb {Z} }

không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa các số nguyên dưới dạng một vành con là trường các số hữu tỉ. Quá trình xây dựng các số hữu tỉ từ các số nguyên có thể được bắt chước để tạo thành trường phân số của bất kỳ miền nguyên nào. Và ngược lại, bắt đầu từ trường số đại số (phần mở rộng của số hữu tỉ), vành số nguyên của nó có thể được trích xuất, bao gồm

{\displaystyle \mathbb {Z} }

như là vành con của nó.

Mặc dù phép chia thông thường không được định nghĩa trên

{\displaystyle \mathbb {Z} }

, phép chia “với phần dư” được xác định trên chúng. Nó được gọi là phép chia Euclid, và có tính chất quan trọng sau: cho hai số nguyên a và b với b ≠ 0, tồn tại các số nguyên q và r duy nhất sao cho a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị giá trị tuyệt đối của b.[9] Số nguyên q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép chia a cho b. Thuật toán Euclid để tính ước số chung lớn nhất hoạt động với một chuỗi các phép chia Euclid.

Một lần nữa, trong ngôn từ của đại số trừu tượng, phần trên nói rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } là một vành Euclid. Điều này ý niệm rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } là một vành ideal chính và bất kể số nguyên dương nào cũng hoàn toàn có thể được viết dưới dạng tích của những số nguyên tố theo một cách cơ bản duy nhất. [ 10 ] Đây là định lý cơ bản của số học .

Mục lục bài viết

Thuộc tính triết lý thứ tự[sửa|sửa mã nguồn]

{\displaystyle \mathbb {Z} }

là một tập hợp có thứ tự hoàn toàn không có giới hạn trên hoặc dưới. Thứ tự của

{\displaystyle \mathbb {Z} }

được định nghĩa là: :… −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên là dương nếu nó lớn hơn 0 và âm nếu nó nhỏ hơn 0. Số không (0) được định nghĩa là không âm cũng không dương.

Thứ tự của những số nguyên thích hợp với những phép toán đại số theo cách sau :

Nếu $a < b$
và
$c < d$
, thì
$a + c < b + d$
Nếu $a < b$
and
$0 < c$
Xem thêm: Bộ đề thi vào lớp 6 môn Toán năm 2021
, thì
$ac < bc$
.

Vì vậy, ta Tóm lại rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } } cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự .Các số nguyên là nhóm abel có thứ tự trọn vẹn không tầm thường duy nhất có những thành phần dương được sắp xếp theo thứ tự hài hòa và hợp lý. [ 11 ] Điều này tương tự với công bố rằng bất kể vành nhìn nhận Noether nào cũng là một trường — hoặc một vành định giá rời rạc .
Representation of equivalence classes for the numbers −5 to 5 Các điểm màu đỏ biểu lộ những cặp số tự nhiên có thứ tự. Các điểm màu đỏ được link là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số nguyên màu xanh lam ở cuối dòng .

Trong quá trình dạy học ở trường tiểu học, các số nguyên thường được định nghĩa một cách trực quan là các số tự nhiên (dương), số 0 và các số đối của các số tự nhiên. Tuy nhiên, kiểu định nghĩa này dẫn đến nhiều trường hợp khác nhau (mỗi phép toán số học cần được xác định trên mỗi tổ hợp các kiểu số nguyên) và khiến việc chứng minh rằng các số nguyên tuân theo các định luật số học khác nhau trở nên tẻ nhạt.[12] Do đó, trong toán học lý thuyết tập hợp hiện đại, một cấu trúc trừu tượng hơn[13] cho phép người ta xác định các phép toán số học mà không có bất kỳ phân biệt trường hợp nào thường được sử dụng để thay thế.[14] Do đó, các số nguyên có thể được xây dựng chính thức như các lớp tương đương của các cặp số tự nhiên có thứ tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết tắt của kết quả của phép trừ a–b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị cùng một số, chúng ta xác định quan hệ tương đương ~ trên các cặp này với quy tắc sau:

(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)

{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

$(a,b)\sim (c,d)$

chỉ khi

a
+
d
=
b
+
c
.

{\displaystyle a+d=b+c.}

$a+d=b+c.$

Phép cộng và phép nhân các số nguyên có thể được định nghĩa theo các phép toán tương đương trên các số tự nhiên;[15] bằng cách sử dụng [(a,b)] để biểu thị lớp tương đương có (a,b) là thành viên, lớp này có:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Số đối ( hoặc phép nghịch đảo của phép cộng ) của 1 số ít nguyên có được bằng cách đảo ngược thứ tự của cặp :

−
[
(
a
,
b
)
]
:=
[
(
b
,
a
)
]
.

{\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}

$-[(a,b)]:=[(b,a)].$

Do đó phép trừ hoàn toàn có thể được định nghĩa là phép cộng với nghịch đảo của phép cộng :

[
(
a
,
b
)
]
−
[
(
c
,
d
)
]
:=
[
(
a
+
d
,
b
+
c
)
]
.

{\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}

$[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].$

Thứ tự tiêu chuẩn trên những số nguyên được đưa ra với bất đẳng thức :

[
(
a
,
b
)
]
<[(c,d)]{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]} $[(a,b)]<[(c,d)]$ khi và chỉ khi

a
+
d

Dễ dàng xác định rằng những định nghĩa này không phụ thuộc vào vào việc lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự .

Mọi lớp tương đương có một thành viên duy nhất có dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả hai cùng một lúc). Số tự nhiên n được xác định với lớp [(n,0)] (nghĩa là, các số tự nhiên được nhúng vào các số nguyên bằng cách ánh xạ gửi n tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao gồm tất cả các lớp còn lại và cho lớp [(0,0)] 2 lần do −0 = 0.

Do đó, [(a,b)] được ký hiệu là

{

a
−
b
,

nếu

a
≥
b

−
(
b
−
a
)
,

nếu

Nếu những số tự nhiên được xác lập với những số nguyên tương ứng ( sử dụng phép nhúng được đề cập ở trên ), thì quy ước này không tạo ra sự mơ hồ .Ký hiệu này hồi sinh trình diễn quen thuộc của những số nguyên là { …, − 2, − 1, 0, 1, 2, … } { …, − 2, − 1, 0, 1, 2, … } { …, − 2, − 1, 0, 1, 2, … } { …, − 2, − 1, 0, 1, 2, … } .Một số ví dụ :

=
[
(
0
,
0
)
]

=
[
(
1
,
1
)
]

=
⋯

=
[
(
k
,
k
)
]

=
[
(
1
,
0
)
]

=
[
(
2
,
1
)
]

=
⋯

=
[
(
k
+
1
,
k
)
]

−
1

=
[
(
0
,
1
)
]

=
[
(
1
,
2
)
]

=
⋯

=
[
(
k
,
k
+
1
)
]

=
[
(
2
,
0
)
]

=
[
(
3
,
1
)
]

=
⋯

=
[
(
k
+
2
,
k
)
]

−
2

=
[
(
0
,
2
)
]

=
[
(
1
,
3
)
]

=
⋯

=
[
(
k
,
k
+
2
)
]
.

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}

${\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}$

Trong khoa học máy tính lý thuyết, các cách tiếp cận khác để xây dựng các số nguyên được sử dụng bởi các máy dò định lý tự động và các công cụ viết lại thuật ngữ. Số nguyên được biểu diễn dưới dạng các thuật ngữ đại số được xây dựng bằng cách sử dụng một vài phép toán cơ bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, có thể, sử dụng các số tự nhiên, được giả định là đã được xây dựng (sử dụng phương pháp Peano).

Tồn tại tối thiểu mười cách thiết kế xây dựng những số nguyên có dấu. [ 16 ] Các cấu trúc này khác nhau theo một số ít cách : số lượng những phép toán cơ bản được sử dụng cho cấu trúc, số lượng ( thường là từ 0 đến 2 ) và những loại đối số được những phép toán này gật đầu ; sự hiện hữu hay vắng mặt của những số tự nhiên làm đối số của 1 số ít phép toán này và thực tiễn là những phép toán này có phải là hàm tạo tự do hay không, tức là cùng 1 số ít nguyên hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ bằng một hoặc nhiều số hạng đại số .

Kỹ thuật xây dựng các số nguyên được trình bày ở trên trong phần này tương ứng với trường hợp cụ thể trong đó có một cặp phép toán cơ bản duy nhất

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}

$(x,y)$ nhận đối số là hai số tự nhiên

{\displaystyle x}

$x$ và

{\displaystyle y}

$y$ và trả về một số nguyên (bằng

x
−
y

{\displaystyle x-y}

$x-y$ ). Thao tác này không tự do vì số nguyên 0 có thể được viết là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây dựng này được sử dụng bởi trợ lý chứng minh Isabelle; tuy nhiên, nhiều công cụ khác sử dụng các kỹ thuật xây dựng thay thế, đáng chú ý là những kỹ thuật dựa trên các cấu trúc tự do, đơn giản hơn và có thể được thực hiện hiệu quả hơn trong máy tính.

Một số nguyên thường là một kiểu dữ liệu nguyên thủy trong các ngôn ngữ máy tính. Tuy nhiên, kiểu dữ liệu số nguyên chỉ có thể đại diện cho một tập hợp con của tất cả các số nguyên, vì máy tính thực tế có dung lượng hữu hạn. Ngoài ra, trong biểu diễn phép bù hai phổ biến, định nghĩa cố hữu của dấu phân biệt giữa “âm” và “không âm” thay vì “âm, dương và 0 “. (Tuy nhiên, chắc chắn máy tính có thể xác định được liệu một giá trị số nguyên có thực sự là số dương hay không.) Các kiểu dữ liệu xấp xỉ số nguyên có độ dài cố định (hoặc tập hợp con) được ký hiệu là int hoặc Integer trong một số ngôn ngữ lập trình (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các trình diễn số nguyên có độ dài biến hóa, ví dụ điển hình như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ bất kể số nguyên nào vừa với bộ nhớ của máy tính. Các kiểu tài liệu số nguyên khác được tiến hành với kích cỡ cố định và thắt chặt, thường là 1 số ít bit là lũy thừa của 2 ( 4, 8, 16, v.v. ) hoặc 1 số ít chữ số thập phân ( ví dụ : 9 hoặc 10 ) .

Lực lượng của tập hợp các số nguyên bằng ℵ0 (aleph-null). Điều được dễ dàng chứng minh bằng việc xây dựng một song ánh, đó là một hàm đơn ánh và toàn ánh từ

{\displaystyle \mathbb {Z} }

đến

{\displaystyle \mathbb {N} }

${\mathbb {N}}$ . Nếu như

≡
{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
}

{\displaystyle \mathbb {N} _{0}\equiv \{0,1,2,…\}}

$\mathbb {N} _{0}\equiv \{0,1,2,...\}$ sau đó xem xét hàm sau:

f
(
x
)
=

{

x
≤
0

2
x
−
1
,

x
>
0.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x\leq 0\\2x-1,&{\mbox{if }}x>0.\end{cases}}}

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x\leq 0\\2x-1,&{\mbox{if }}x>0.\end{cases}}}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdada57c3dd1678ebe4632b83942a8ec15c97e38″/>{ … ( − 4,8 ) ( − 3,6 ) ( − 2,4 ) ( − 1,2 ) ( 0,0 ) ( 1,1 ) ( 2,3 ) ( 3,5 ) … }Nếu như N≡ { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }{\displaystyle \mathbb {N} \equiv \{0,1,2,3,…\}}<img alt=$ thì ta xem xét hàm sau:

g
(
x
)
=

{

x
<02x+1,if x≥0.{\displaystyle g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x<0\\2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0.\end{cases}}} $g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x<0\\2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0.\end{cases}}$