Định lý lớn Fermat – Wikipedia tiếng Việt

Định lý cuối cùng của Fermat (hay còn gọi là định lý Fermat lớn) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không a, b, và c thoả mãn an + bn = cn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý này đã làm khó không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được Andrew Wiles chứng minh vào năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển từ chứng minh các giả thiết có liên quan. Tuy nhiên chứng minh này còn thiếu sót và đến năm 1995 Wiles mới hoàn tất, công bố chứng minh trọn vẹn sau 358 năm nỗ lực chứng minh của các nhà toán học. Bằng chứng được mô tả là một ‘bước tiến tuyệt vời’ trong trích dẫn cho giải thưởng Abel năm 2016. Bằng chứng của Định lý cuối cùng của Fermat cũng đã chứng minh được rất nhiều định lý module và mở ra toàn bộ các phương pháp tiếp cận mới cho nhiều vấn đề khác và nâng tầm kỹ thuật tính toán module. Những vấn đề chưa được giải quyết đã thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết đại số ở thế kỉ 19 và sự chứng minh của định lý Module ở thế kỉ 20. Đây là định lý trứ danh nhất trong lịch sử toán học. Trước khi nó được chứng minh thì định lý đã được ghi vào sách kỷ lục Guinness thế giới như là một vấn đề toán học khó nhất mọi thời đại, một trong những lý do định lý này được gọi như vậy là vì có một lượng khổng lồ các bài chứng minh không thành công.

Tổng quan về định lý[sửa|sửa mã nguồn]

Nguồn gốc của định lý Pythagoras[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình Pythagoras, x2 + y2 = z2, có vô số những số nguyên dương cho x, y, z thỏa mãn nhu cầu ; những nghiệm này được gọi là bộ ba số Pythagoras. Vào khoảng chừng năm 1637, Fermat đã viết trong một quyển sách rằng phương trình tổng quát hơn là an + bn = cn, không có nghiệm nào là số nguyên dương, nếu n là số nguyên lớn hơn 2. Mặc dù ông công bố có cách chứng tỏ chung về giả thuyết của ông, Fermat đã không để lại cụ thể về chứng tỏ của mình, và không có bất kể chứng tỏ nào của ông đã từng được tìm thấy. Khẳng định của ông đã được phát hiện khoảng chừng 30 năm sau cái chết của ông. Tuyên bố này, được gọi là Định lý ở đầu cuối của Fermat, đã sống sót trong toán gần 3,5 thế kỷ. Tuyên bố ở đầu cuối của Fermat đã trở thành một trong những yếu tố điển hình nổi bật nhất chưa được xử lý của toán học. Những nỗ lực để chứng tỏ nó đã thôi thúc sự tăng trưởng đáng kể trong kim chỉ nan số, và theo thời hạn Định lý ở đầu cuối của Fermat đã điển hình nổi bật như thể một yếu tố chưa được xử lý trong toán học .

Sự tăng trưởng và những giải pháp sau đó[sửa|sửa mã nguồn]

Với trường hợp đặc biệt quan trọng n = 4 do chính Fermat chứng tỏ, điều này đã giảm thiểu việc chứng tỏ bằng cách chỉ cần chứng minh định lý này cho những số mũ là số nguyên tố ( sự thu nhỏ chứng tỏ này được coi là thông thường để chứng tỏ ). Trong hai thế kỷ tiếp theo ( 1637 – 1839 ), phỏng đoán đã được chứng tỏ chỉ với những số nguyên tố 3, 5 và 7, mặc dầu Sophie Germain đã thay đổi và chứng tỏ một cách tiếp cận có tương quan đến hàng loạt bậc của số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã lan rộng ra điều này và chứng tỏ được định lý cho tổng thể những số nguyên tố thường thì, để lại những số nguyên tố không bình thường được nghiên cứu và phân tích riêng không liên quan gì đến nhau. Dựa trên khu công trình của Kummer và sử dụng những điều tra và nghiên cứu máy tính phức tạp, những nhà toán học khác hoàn toàn có thể lan rộng ra cách chứng tỏ để gồm có toàn bộ những số nguyên tố chính lên đến bốn triệu, nhưng một vật chứng cho thấy tổng thể những số mũ là không hề tiếp cận được ( có nghĩa là những nhà toán học thường xem là một dẫn chứng không hề, nó quá khó, không hề chứng tỏ được với kiến ​ ​ thức hiện tại ) .Hoàn toàn tách biệt, khoảng chừng năm 1955, những nhà toán học người Nhật Goro Shimura và Yutaka Taniyama hoài nghi một link hoàn toàn có thể sống sót giữa những đường cong elliptic và dạng modular, hai nghành toán học trọn vẹn khác nhau. Được biết đến vào thời gian đó là giả thuyết Taniyama-Shimura, và ( ở đầu cuối ) là định lý modular, nó tự đứng vững, không có liên kết rõ ràng với Định lý ở đầu cuối của Fermat. Nó được xem là quan trọng, nhưng nó ( như định lý của Fermat ) được xem là không hề chứng tỏ được .Năm 1984, Gerhard Frey nhận thấy một link rõ ràng giữa hai yếu tố không tương quan và chưa được xử lý trước đây. Một phác thảo cho thấy điều này hoàn toàn có thể được chứng tỏ đã được đưa ra bởi Frey. Bằng chứng vừa đủ cho thấy hai yếu tố này có tương quan mật thiết với nhau, được kiến thiết xây dựng bởi Ken Ribet vào năm 1986 dựa trên cách chứng tỏ từng phần của Jean-Pierre Serre, người đã chứng tỏ được toàn bộ nhưng chỉ một phần được gọi là ” Dự kiến epsilon ” ( xem định lý của Ribet và đường Frey ). Bằng tiếng Anh, những sách vở của Frey, Serre và Ribet chỉ ra rằng nếu Định lý mô đun hoàn toàn có thể được chứng tỏ cho tối thiểu là bán không thay đổi lớp đường cong elliptic, thì một cách chứng tỏ của Định lý ở đầu cuối của Fermat cũng sẽ tự động hóa được triển khai. Kết nối được diễn đạt dưới đây : bất kể giải pháp nào hoàn toàn có thể trái ngược với Định lý sau cuối của Fermat cũng hoàn toàn có thể được sử dụng để hòn đảo lại với Định lý mô đun. Vì vậy, nếu định lý Mô-đun đã được tìm thấy là đúng, thì theo định nghĩa không có cách giải nào hòn đảo với Định lý sau cuối của Fermat hoàn toàn có thể sống sót, điều này cũng phải là đúng .Mặc dù cả hai yếu tố này đều là những yếu tố khó khăn vất vả được xem là ” trọn vẹn không hề tiếp cận ” được vào thời gian đó, nhưng đây là gợi ý tiên phong của một lộ trình mà theo đó Định lý sau cuối của Fermat hoàn toàn có thể được lan rộng ra và chứng tỏ cho toàn bộ những số lượng, chứ không phải chỉ một số ít số lượng. Điều quan trọng là những nhà nghiên cứu lựa chọn một chủ đề điều tra và nghiên cứu thực sự là không giống như Định lý Cuối cùng của Fermat, Định lý mô đun là một nghành điều tra và nghiên cứu hầu hết mà một cách chứng tỏ được nhu yếu thoáng rộng và không chỉ là một sự kỳ quặc lịch sử dân tộc, do đó thời hạn thao tác trên đó hoàn toàn có thể được chứng tỏ là vô cùng chuyên nghiệp. Tuy nhiên, quan điểm ​ ​ chung cho rằng điều này chỉ đơn thuần cho thấy cái không thực tiễn của chứng tỏ Taniyama-Shimura phỏng đoán. Phản hồi được trích dẫn từ nhà toán học John Coates :” Bản thân tôi rất thiếu tín nhiệm rằng mối liên hệ tuyệt vời giữa Định lý Cuối cùng của Fermat và giả thuyết Taniyama-Shimura sẽ thực sự dẫn đến bất kể điều gì, chính do tôi phải thú nhận rằng tôi không nghĩ rằng giả thuyết Taniyama-Shimura hoàn toàn có thể chứng tỏ được., nó có vẻ như không hề chứng tỏ. Tôi phải thú nhận rằng tôi nghĩ có lẽ rằng tôi sẽ không tận mắt chứng kiến ​ ​ điều đó trong suốt cuộc sống mình. “Khi nghe Ribet đã chứng tỏ link của Frey là đúng, nhà toán học người Anh Andrew Wiles, người đã có một niềm đam mê từ thời thơ ấu với Định lý sau cuối của Fermat và có nền tảng thao tác với đường cong elliptic và những nghành tương quan, quyết định hành động thử chứng tỏ giả thuyết Taniyama-Shimura như một cách để chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat. Năm 1993, sau sáu năm thao tác bí hiểm về yếu tố này, Wiles đã thành công xuất sắc trong việc chứng tỏ đủ những giả thuyết để chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat. Bản báo cáo của Wiles có quy mô và khoanh vùng phạm vi lớn. Một lỗ hổng đã được phát hiện trong một phần của bài báo gốc của ông trong quy trình xem xét lại và cần thêm một năm nữa và hợp tác với một học viên cũ, Richard Taylor, để xử lý. Kết quả là, chứng tỏ được công bố sau cuối năm 1995 được kèm theo một báo cáo giải trình thứ hai nhỏ hơn cho thấy rằng những bước cố định và thắt chặt là hợp lệ. Thành tựu của Wiles được báo cáo giải trình thoáng đãng trong báo chí truyền thông nổi tiếng và được thông dụng thoáng rộng trong những cuốn sách và chương trình truyền hình. Các phần còn lại của Dự kiến Taniyama-Shimura-Weil, giờ đây đã được chứng tỏ và được gọi là định lý Mô đun, sau đó được chứng tỏ bởi những nhà toán học khác, người đã thiết kế xây dựng dựa trên khu công trình của Wiles từ năm 1996 đến năm 2001. Xứng đáng với chứng tỏ của ông, Wiles được vinh danh và nhận được nhiều phần thưởng, gồm có phần thưởng Abel năm năm nay .

Các phát biểu tương tự của định lý[sửa|sửa mã nguồn]

Có 1 số ít cách khác để công bố định lý ở đầu cuối của Fermat có toán học tương tự với câu lệnh bắt đầu của yếu tố .Để trình diễn chúng, tất cả chúng ta sử dụng ký hiệu toán học : để N là tập những số tự nhiên 1,2,3, …, để Z là tập những số nguyên 0, ± 1, ± 2, …, và để cho Q. là tập những số hợp những số ngẫu nhiên trong đó a và b thuộc Z với b ≠ 0, Dưới đây, tất cả chúng ta sẽ gọi một giải pháp cho xn + yn = zn, trong đó một hoặc nhiều x, y, hoặc z có giá trị là 0 thì cách giải sẽ trở nên thông thường. Một giải pháp mà cả ba không phải là giá trị 0 thì sẽ trở nên không bình thường .Để so sánh, tất cả chúng ta khởi đầu với công thức bắt đầu .Phát biểu gốc : Với n, x, y, z ∈ N ( nghĩa là : x, y, z là tổng thể những số nguyên dương ) và n > 2 thì phương trình xn + yn = zn vô nghiệm .Các giải pháp phổ cập nhất của đối tượng người tiêu dùng theo cách này. Ngược lại, gần như là tổng thể những sách giáo khoa toán học đều ghi rõ nó qua Z :

Phát biểu tương tự 1[sửa|sửa mã nguồn]

xn + yn = zn, trong đó n ≥ 3, không có những nghiệm thông thường x, y, z ∈ Z .Tương đương là rõ ràng nếu n là như vậy. Nếu n là lẻ và tổng thể ba của x, y, z là âm thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thay thế sửa chữa x, y, z bằng – x, – y, – z để có được một cách giải trong N. Nếu hai trong số đó là âm, nó phải là x và z hoặc y và z. Nếu x, z là âm và y là dương, sau đó tất cả chúng ta hoàn toàn có thể sắp xếp lại để có được ( – z ) n + y n = ( – x ) n dẫn đến một cách giải trong N ; trường hợp khác được giải quyết và xử lý tương tự như. Bây giờ nếu chỉ một trong số chúng là âm, nó phải được x hoặc y. Nếu x là âm, và y và z dương, sau đó nó hoàn toàn có thể được sắp xếp lại để lấy ( – x ) n + zn = y n một lần nữa dẫn đến một cách giải trong N ; nếu y là âm, tác dụng đối xứng với trước đó. Như vậy trong mọi trường hợp một giải pháp không trái chiều trong Z cũng có nghĩa là một giải pháp sống sót trong N, đó là công thức khởi đầu của yếu tố .

Phát biểu tương tự 2[sửa|sửa mã nguồn]

xn + yn = zn, trong đó n ≥ 3, không có những không bình thường gì trong cách giải x, y, z ∈ Q .Điều này là do số mũ của x, y và z bằng nhau ( đến n ), thế cho nên nếu có một cách giải trong Q. thì nó hoàn toàn có thể được nhân với một mẫu số chung thích hợp để có được một giải pháp trong Z, và do đó kéo theo trong N .

Phát biểu tương tự 3[sửa|sửa mã nguồn]

xn + yn = 1, với n ≥ 3, không có những không bình thường gì trong cách giải x, y ∈ Q .

Một giải pháp bất thường a, b, c ∈ Z đến xn + yn = zn cho ra giải pháp khác lạ , ∈ Q cho vn + wn = 1. Ngược lại, một giải pháp một cách giải, ∈ Q to vn + wn = 1 mang lại một cách giải ad, cb, bd cho xn + yn = zn.

Công thức ở đầu cuối này đặc biệt hiệu quả, chính do nó làm giảm yếu tố từ một yếu tố về mặt phẳng trong ba chiều với một yếu tố về những đường cong trong hai chiều. Hơn nữa, nó được cho phép thao tác trên tập Q., chứ không phải là qua vòng Z ; nghành có cấu trúc nhiều hơn vòng tròn, được cho phép nghiên cứu và phân tích sâu hơn những yếu tố của họ .

Phát biểu tương tự 4[sửa|sửa mã nguồn]

Kết nối với những đường cong elliptic : Nếu a, b, c là một giải pháp không tầm thường so với xp + yp = zp, p là số lẻ, thì y2 = x ( x – ap ) ( x + bp ) ( đường cong Frey ) sẽ là một đường cong elliptic .Xem đường cong elliptic này với định lý Ribet cho thấy nó không hề có dạng mô đun. Tuy nhiên, chứng tỏ của Andrew Wiles chứng tỏ rằng bất kể phương trình có dạng y2 = x ( x – an ) ( x + bn ) luôn luôn có một dạng mô đun. Bất kỳ giải pháp nào so với xp + yp = zp ( với p là số lẻ ) sẽ tạo ra xích míc, do đó chứng tỏ rằng không có những giải pháp nào sống sót .( Theo thuật ngữ chung, điều này nói rằng bất kể giải pháp nào hoàn toàn có thể xích míc với Định lý sau cuối của Fermat cũng hoàn toàn có thể được sử dụng để xích míc với Định lý Mô đun. Vì vậy, nếu định lý mô đun được tìm thấy là đúng, thì theo định nghĩa thì không có xích míc với Định lý sau cuối của Fermat. Như đã trình diễn ở trên, việc tò mò ra công bố tương tự này rất quan trọng so với giải pháp ở đầu cuối của Định lý ở đầu cuối của Fermat, vì nó cung ứng một phương tiện đi lại để nó hoàn toàn có thể bị ‘ tiến công ‘ cho toàn bộ những số cùng một lúc. )

Lịch sử toán học[sửa|sửa mã nguồn]

Định lý Pythagoras về tam giác vuông

Bộ ba số Pythagoras[sửa|sửa mã nguồn]

Trong thời cổ đại, người ta biết rằng một tam giác có những cạnh lần lượt có tỷ suất tương ứng là 3 : 4 : 5 sẽ là một tam giác vuông. Điều này đã được sử dụng trong kiến thiết xây dựng và sau đó sớm được dùng trong hình học. Trong thời cổ đại, điều này đã được phát hiện ra chỉ là một ví dụ của một nguyên tắc chung rằng bất kể tam giác nào có tổng bình phương hai cạnh bất kể bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông .Đây được gọi là định lý Pythagoras, và một bộ ba số thỏa mãn nhu cầu được điều kiện kèm theo này được gọi là bộ ba số Pythagoras. Nó được đặt tên dựa trên tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại – Pythagoras. Ví dụ những bộ ba ( 3, 4, 5 ) và ( 5, 12, 13 ). Có rất nhiều bộ ba số như vậy, và những giải pháp để tạo ra bộ ba số đó được điều tra và nghiên cứu ở nhiều nền văn hóa truyền thống khác nhau, mở màn với người Babylon, sau đó lần lượt là những nhà toán học Hy Lạp, Trung Quốc và Ấn Độ. Về mặt toán học, định nghĩa của một bộ ba số Pythagoras là một tập gồm ba số nguyên ( a, b, c ) thỏa mãn nhu cầu phương trình : a2 + b2 = c2 .

Định lý cuối cùng của Fermat xem xét phương trình này cho bậc lớn hơn 2, và cho biết mặc dù có vô số bộ ba nguyên dương thỏa mãn phương trình cho n = 2, không có nghiệm dương nào cho n > 2.

Phương trình Diophantine[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình Fermat, xn + yn = zn với những nghiệm là số nguyên dương, là một ví dụ về phương trình Diophantine, được đặt tên theo tên của nhà toán học Alexandrian ở thế kỷ thứ ba, Diophantus, người đã nghiên cứu và điều tra chúng và tăng trưởng giải pháp để giải 1 số ít phương trình Diophantine. Một yếu tố Diophantine nổi bật là tìm hai số nguyên x và y sao cho tổng của chúng và tổng bình phương bằng hai số A và B tương ứng :A = x + yB = x2 + y2

Công việc chính của Diophantus là nghiên cứu cuốn Arithmetica, nhưng trong đó chỉ còn một vài phần công việc của ông là còn tồn tại. Phỏng đoán của Fermat về Định lý Cuối cùng của ông đã được truyền cảm hứng khi đọc một ấn bản mới của một cuốn sách Arithmetica, được Claude Bachet xuất bản và dịch sang tiếng La-tin vào năm 1621.

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu và điều tra trong hàng ngàn năm. Ví dụ, phương trình Diophantine bậc hai x2 + y2 = z2 được giải bởi những bộ ba số Pythagoras, khởi đầu được xử lý bởi người Babylon ( khoảng chừng 1800 TCN ). Cách giải cho những phương trình Diophantine tuyến tính, như 26 x + 65 y = 13, hoàn toàn có thể được tìm thấy bằng thuật toán Euclide ( khoảng chừng thế kỷ 5 trước công nguyên ). Nhiều phương trình Diophantine có một hình thức tựa như như phương trình của Định lý Cuối cùng của Fermat theo quan điểm của đại số. Ví dụ, có vô số những số nguyên dương x, y, và z sao cho xn + yn = zm trong đó n và m là những số nguyên tố tự nhiên .

Giả thuyết của Fermat[sửa|sửa mã nguồn]

Vấn đề II. 8 trong ấn bản 1621 của Arithmetica được viết bởi Diophantus. Vì phía bên phải của sách là lề quá nhỏ để chứa cách chứng tỏ của Fermat về ” định lý ở đầu cuối ” của Fermat .Vấn đề II. 8 của Arithmetica hỏi làm thế nào 1 số ít bình phương nhất định được chia thành hai số bình phương khác ; nói cách khác, với một số ít k nhất định, tìm hai số u và v sao cho k2 = u2 + v2. Diophantus cho thấy làm thế nào để xử lý yếu tố tổng và bình phương khi k = 4 .Vào khoảng chừng năm 1637, Fermat đã viết bài toán ở đầu cuối của mình trong bản sao của Arithmetica bên cạnh yếu tố tổng bình phương của Diophantus .Sau cái chết của Fermat năm 1665, con trai của ông, Clément-Samuel Fermat, đã sản xuất một ấn bản mới của cuốn sách ( 1670 ) với những nhận xét của cha mình. Mặc dù thời hạn đó, nó không hẳn thực sự là một định lý. Sau này, nó đã được biết đến như Định lý Cuối cùng của Fermat do tại nó là tập cuối của những định lý được khẳng định chắc chắn của Fermat mà vẫn không được chứng tỏ .Không biết liệu Fermat có thực sự tìm ra cách chứng tỏ hợp lệ cho tổng thể những số mũ n không, nhưng có vẻ như nó là không chắc như đinh. Chỉ có một vật chứng tương quan của ông đã sống sót, đơn cử là cho trường hợp n = 4, như miêu tả trong phần Bằng chứng cho số mũ đơn cử. Trong khi Fermat đặt ra những trường hợp n = 4 và n = 3 như là những thử thách so với những nhà toán học, như Marin Mersenne, Blaise Pascal, và John Wallis. Ông chưa khi nào đưa ra một trường hợp chung. Hơn nữa, trong ba mươi năm ở đầu cuối của cuộc sống, Fermat không khi nào viết về ” cách chứng tỏ kỳ diệu thực sự ” của ông về trường hợp chung, và không khi nào xuất bản nó. Van der Poorten cho thấy rằng mặc dầu sự thiếu sót của một chứng tỏ là không đáng kể, sự thiếu thử thách có nghĩa là Fermat nhận ra rằng ông không có cách chứng tỏ nào cả ; Trích dẫn Weil thì người ta cho rằng Fermat phải có một thời hạn ngắn lừa dối mình với một ý tưởng sáng tạo không hề cứu vãn được nữa .Các kỹ thuật mà Fermat hoàn toàn có thể đã sử dụng trong một ” cách chứng tỏ kỳ diệu ” là không được biết đến .Taylor và chứng tỏ của Wiles dựa vào những kỹ thuật của thế kỷ 20. Cách chứng tỏ của Fermat hoàn toàn có thể đã được có bản hóa bằng cách so sánh .Trong khi giả thuyết lớn của Harvey Friedman ý niệm rằng bất kể định lý hoàn toàn có thể chứng tỏ nào ( gồm có định lý sau cuối của Fermat ) hoàn toàn có thể được chứng tỏ bằng cách sử dụng ‘ số học cơ bản ‘, thì một vật chứng cần phải là ” cơ bản ” chỉ theo nghĩa kỹ thuật và hoàn toàn có thể tương quan đến hàng triệu bước, quá lâu để có được dẫn chứng của Fermat .

Giả thiết Fermat[sửa|sửa mã nguồn]

Định lý này được gọi là định lý cuối cùng của Fermat hay định lý Lớn Fermat là vì vào năm 1630, Fermat cho rằng không thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba. Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat viết lại trên lề cuốn sách Arithmetica của Diophantus mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: “Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp.” Việc ông có thực sự chứng minh được định lý đó hay không vẫn còn gây tranh cãi, nhưng vấn đề này đã trở thành một vấn đề nổi tiếng trong toán học. Các nhà toán học hết thế hệ này đến thế hệ khác đã cố sức và đều thất bại trong việc tìm ra lời giải cho định lý này.[1]

Với những dòng viết tay đó, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã chính thức buông lời thách đố so với thế hệ những nhà toán học sau ông. Nhiều nhà toán học đã dành cả cuộc sống để cố chứng minh định lý phát biểu nghe có vẻ như rất là đơn thuần này .Hành trình mấy trăm năm để giải lời thách đố, cùng với sự phức tạp của lời giải hàng trăm trang, từ bao thế hệ những nhà toán học đã làm người ta vừa hoài nghi dòng ghi chú của Fermat, vừa tò mò, thán phục ông .

Lịch sử chứng minh định lý lớn Fermat[sửa|sửa mã nguồn]

Cho tới đầu thế kỷ 20 các nhà toán học chỉ chứng minh định lý này là đúng với n = 3, 4, 5, 7 và các bội số của nó. Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).[1]

Nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ Leonhard Euler ( 1707 – 1783 ) đã chứng minh định lý cho trường hợp n = 3 và n = 4 .Năm 1828, Dirichlet chứng tỏ cho trường hợp n = 5 .Vào những năm 1840, Gabriel Lamé chứng tỏ với n = 7 .200 năm sau Fermat, định lí mới được chứng tỏ với n = 3, 4, 5, 6 và 7 .Định lý quá khó và Bell trong cuốn sách “ Bài toán ở đầu cuối ” đã phải viết rằng : có lẽ rằng nền văn minh của tất cả chúng ta cáo chung trước khi những nhà toán học tìm ra lời giải cho bài toán .Tuy vậy, năm 1908, định lý Fermat bất thần gây được sự quan tâm trở lại nhờ công của một nhà công nghiệp và tiến sỹ toán người Đức tên là Paul Wolfskehl. Do gặp phải một chuyện xấu số trong đời sống riêng, ông quyết định hành động sẽ tự sát vào lúc nửa đêm. Trong khi chờ đón, ông vô tình đọc một chứng tỏ của Kummer tương quan đến định lí Fermat. Chìm đắm trong sự suy tư, ông vượt qua giờ phút định mệnh khi nào không biết. Sự đam mê toán học đã hồi sinh cuộc sống ông. Ông quyết định hành động dành gần hết gia tài của mình lập nên phần thưởng Wolfshehl dành Tặng Kèm cho người nào tìm ra lời giải của định lý Fermat. Trị giá phần thưởng là 100.000 mác tương tự 1,75 triệu USD, lớn hơn giải Nobel .

Khi giải thưởng được thông báo, các bài dự thi ùn ùn đổ về Đại học Gottingen. Ngay trong năm treo giải, có 621 “lời giải” được đệ trình và mấy năm sau thì số thư từ chất cao đến 3m. Tất cả đều sai.

Quá trình giải của Andrew Wiles[sửa|sửa mã nguồn]

Trong lịch sử dân tộc công cuộc tìm lời giải cho ” Định lý sau cuối của Fermat ” có người phải tự tử và có những người tự lừa chính mình. Cuối cùng sau gần 4 thế kỷ, nhà toán học người Anh, Andrew Wiles cũng công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và bản chỉnh sửa ở đầu cuối vào năm 1995, với lời giải dài 200 trang. [ 1 ]

• Tháng 5 năm 1993, Wiles khoe với vợ của mình là đã giải thành công.
• Tháng 6 năm 1993, “Elliptic Curves and Modular Forms”, Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được Định lý lớn Fermat.
• Trong tháng 7 và tháng 8 năm 1993, Nick Katz, đồng nghiệp của Wiles tại Đại học Princeton, trao đổi email với ông về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của ông có 1 sai lầm căn bản.
• Tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa. Trong ngày sinh nhật của vợ ông, ngày 6 tháng 10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng, thế nhưng, dù đã cố gắng hết sức, Wiles vẫn không làm được.
• Tháng 11 năm 1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần của chứng minh đó của mình.
• Sau nhiều tháng thất bại trong việc tìm hướng giải quyết, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, đã tới Princeton cùng nghiên cứu với ông.

• Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu.
• Tháng 9 năm 1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh của ông được xây dựng dựa trên đó.
• Ngày 19 tháng 9 năm 1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước. Sau khi coi lại cẩn thận, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được.
• Tháng 5 năm 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Đại học Princeton).
• Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.

Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, nhìn nhận tình hình của cách chứng tỏ đó như sau :

“Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat.”

“Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa được biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy.”

• Simon Singh, Định Lý Cuối Cùng Của Fermat, Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng dịch, Thành phố Hồ Chí Minh: Nhà xuất bản Trẻ
• Amir D. Aczel, Câu chuyện hấp dẫn về bài toán Phécma, Trần Văn Nhung, Đỗ Trung Hậu, Nguyễn Kim Chi dịch, Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục, 2000

Tiếng Anh:

• Amir D. Aczel, Fermat’s Last Theorem, New York/London:Four Walls Eight Windows

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://mix166.vn
Category: Hỏi Đáp