118 hệ phương trình hay và khó có lời giải – Tài liệu text

118 hệ phương trình hay và khó có lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (867.28 KB, 27 trang )

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Chú ý :.
 Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình luyện thi đại học” của lớp
11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.
 Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36), có tham khảo lời giải của các thành viên của diễn đàn
www.k2pi.net
 Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net

Một số bài toán đã được lược bỏ trong quá trình biên soạn. Đã chỉnh sửa lại đề cho cái bài sau: 16;37;69

Bài 1 (Nguyễn Thế Anh)
1.


 
3 2 2
3 2
3 3 3 4 1 1
3 6 6 12 1 2
x x y x y
y xy x y y





    

     

Lấy




1 2
 ta có:
 
 
2 2
2 2
1 0
1 4 2 6 0
4 2 6 0
x y
x y x xy y x y
x xy y x y




  
        
     

 Trường hợp 1:

2 2 2 2
4 2 6 0 2 4 6 0
x xy y x y y x x xy
            

Ta có:
 
2
2 8 0
3
y
x
    
 Nên phương trình trên vô nghiệm.
 Trường hợp 2 :
1 0 1
x y y x
     
.Thay vào


1
Ta có:
3 2
0
6 0 3 2 2
3 2 2
x
x x x x
x




     


 

o Với
0 1
x y
  

o Với
3 2 2 4 2 2
x y    
o Với .
3 2 2 4 2 2
x y    .
Vậy hệ có nghiệm là:
   




; 0;1, 3 2 2;4 2 2, 3 2 2;4 2 2
x y     
2.
2 2

2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y
  
 
   




ĐK:
; 0
x y

Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có:
  
2 0
2 0
2 0
y x y x xy
x y
y x y x
y x
    



    

 

 Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai ta có:
2
1 0 1
x x
   

 Với
2 0
y x
 
.Do
; 0
x y

. Nên phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm :



; 1;1
x y 
Bài 2 (Nguyễn Văn Anh)
3.




3 3 2 2
3 3 2 2
2 3
5( )
8 0
5
5 1 2
2
x y x y
x y
xy
x y x y
x y
x y
 

   



 





ĐK:
1
; 0 2
5
x y
  

Phương trình thứ nhất của hệ thương đương với:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
   
 
3 2
2
3 3 2 2
2 3
2 0 2 0
x y x y
x y x y
x y x y

xy xy
x y x y
 
 
          

Với
x y

Ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
     
2 2
1 1
2 2
5 5
5 1 2 3
5 1 2 2 5 1 2 9 2 5 1 2 9 4 1
x x
x x x
x x x x x x x x x
 
   
 
     
 
 
           
 

 

  
 
 
2
3 2
2
2 13
2 13
2
2
9
9
1
9 1 9 3 1 0
9 4 1 4 5 1 2 0
x
x
x
x x x x
x x x x




 
 


   
 

 
    
     

Vậy hệ phương trình có nghiệm là




; 1;1
x y 
Bài 3 (Hoàng Đình Chung).

6.
2 2
2 2 2 2
10 3 29 2 20
2 5 5 5 2 5 5 5
x y x xy x y
x y x y x x x y x y y y
    
                




Từ phương thứ hai của hệ ta được
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 5 2 5 5 5 5 5 0
1 1 1
10 0
2 5 2 5 5 5
5 5
10
x y x y x y x x y y x y
x y
x y x y x y
x y x x y y
x y
                 
 
 
     
 
       
      
 
  

Thay
10
x y
 
Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

         


2 2
2
10 10 10 3 10 27 10 0 10 17 73 0 10
y y y y y y y y y y
              

Với
10 0
y x
  

Vậy hệ phương trình có nghiệm là




; 0;10
x y 
7.
3 2 2 2
2 2 2 2
5 2 2 2 0
1
0
2
x x x y xy xy
x x y xy y

    
   




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
2 2
2 2
0
5 2 2 2 0
5 2 2 2
x
x x xy x y y
x xy y x y


     

   

Với
0 0
x y
  

Với:
2 2
5 2 2 2
x xy y x y
    kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
2 2 2 2
5 2 2 2
2 2 2 0
x xy y x y
x x y xy y

   


   

Xét thấy




; 0;0
x y  là 1 nghiệm của hệ. Với
; 0
x y

Đặt

x ay

ta có hệ :


2 2 2
2 3 3 2 2 2
5 2 2 2 2 1
2 2 2
a y ay y y y
a y ay a y y

   


  

    
 
  
2
2 2 2
2 2
2 2
5 2 2 2
5 2 2 2 1 2 2 2 0
2 2 2 1
1 3

2
5 2 2 2 2 1 0
1 3
2
a a a
a a a a a a
a a a
a
a a a a
a
  
         
 





      




Với .
1 3
2
a

. Thế vào


1
ta tìm được:
3 1 1
y x
   

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Với
1 3
2
a

 Thế vào


1
ta tìm được:
3 1 1
y x
    

Vậy hệ có nghiệm:
   




; 0;0, 1; 3 1, 1; 3 1
x y
   

8.
2 2 6 2 3 4 2 4
2 0
2
4
x x y xy y xy y x y
x
xy
y
      
 




Hướng dẫn: Rút
y
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi phân tích có nhân tử chung
2
1
y

9.
3 3 2 2 2
2 3 2 0
1
1 0
4 2
x y xy xy x y
y
x y
     
  
 




Từ phương trình thứ của hệ ta có:
   
2
3 3 2 2 2
2 3 2 0 2 1 0
1
2
x y
x y xy xy x y x y x y
x

y



           
 


Với
1
2
x
y
 
 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
1 1
1 0 2 0
2
x
x x
x
 
       

Vô nghiệm
Với
x y


Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
1
1 0
5 1
y
y
   

Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
11.
   
2 2
2
2
( ) 3 3 2 3 15 23
2 2 3
x y x y xy y y
x x y
 
        
 
   




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
       
3 3
3 2 3 2
6 16 9 31 23 2 4 2 3 4 3
x x x y y y x x y y
             

Xét hàm số:
3
( ) 4
f t t t
 



2
‘ 3 4 0
f t t
   
Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng:


( 2) 3 2 3 1
f x f y x y y x
         

Thay 1
x y

 
vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
4
3 1 3 1 1 0 1
3 1 2
x x x x x
x
 
         
 
 
 

Với
1 0
x y
  

Vậy hệ có nghiệm:




; 1;0
x y 
Bài 7 (Đậu Thị Giang)

13.

3 3 2
2 2
3 17 18 3 13 9
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
      
     


Rút
xy
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
3
3 2 3 3
5 3 3 2 1 2 1 2
y y y x x y y x x
          

Xét hàm số:
3
( ) 2 0
f t t t
   
Hàm số đồng biến




1 1
f y f x x y
    

Thay
1
x y
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2
8
3 14 16 0
3
2
y
y y
y



   


Với
8 5
3 3
y x
  

Với
2 1
y x
  

Vậy hệ có nghiệm:
   
5 8
; 1;2, ;
3 3
x y
 

 
 

14.
2 2
2 2
4 2 2 5 3

2 5 2 3 10
x xy y y x
x xy y x
    
   


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
1
1 4 2 3 0
4 3
2
x y
x y x y
x
y
 


     



 Với 1
x y

 
thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta :
2
4 1
3 3
9 6 8 0
2 5
3 3
x y
x x
x y


  

   


   

 Với
4 3
2
x
y


Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta:

11 89
15 11 0
15 30
x x y     
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
 
4 1 2 5 11 89
; ;, ;, ;
3 3 3 3 15 30
x y

     
 
     
     

15.
2 2
2
3 3 3 9 3 4 0
3 6 2 10 3 0
x xy y x y
y xy x y
     
    


Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:

  
1
1 3 2 3 0
3
2 3
y
y x y
y x



    

 

Với
1
3
y

thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta:
2
2
16
3
3 10 0
8
3

3
x
x x
x



   




Với
2 3
y x
 
thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta:
2
15 27 31 0
x x
   
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 8 (Nguyễn Thị Giang)
16.
3 3 2 2
2 2
4 6 3 0

3 4 7 0
x y x x y y
x y x xy y
      
     


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
     
3 2
3 3 2 2 3 2
4 6 3 0 1 4 1 6 1 4 6
x y x x y y x x x y y y
               
Xét hàm số:
3 2
( ) 4 6
f t t t t
  
ta có:
2
‘( ) 3 8 6 0
f t t t
   
nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :
Thay
1

y x
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2
3 4 12 0
x x
   
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
17.
2 2 0
3 5
x x y y xy y y x
x y x y xy
      
   




ĐK :
; 0
x y

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :


3
3 4 2 0 1 1
x x y y x x y x x y y y
           

Xét hàm số :


3
f t t t
 
ta có :


2
‘ 3 1 0
f t t
  
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình có dạng :



1 1
f x f y x y
    
Thay
1
y x
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
0 0 1
x x x y
     

Vậy hệ phương trình có nghiệm




; 0;1
x y 
Bài 9 (Nguyễn Thị Trà Giang)
18.
3
3
1
4 2
1 1 1
2
3 4 8 1
x y
y x y

x y y


 

 
  






ĐK:
1; 3 4 8
y x y
  

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
2
3 4 2 4 1 0 1
3 2
x y y x y x y
y x y
 
       
 

 
 
 

Do
2 2 2 1
1 3 3 3 2 3 1
3 3
3 2 3 2
y y y x y
y x y y x y
           
   

Nên từ


1
ta có:
4
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3
1 1 1
2
2 1 1y y
  
 
.

Đặt
6
1
1
a
y


. Ta có:
 
 
2 3 2
1 1
1 2 1 0 1
2 2
a a a a a a
         
. Hay
6
1
1 1 1 2
1
y y
y
     

Với
2 8
y x

  

Vậy hệ có nghiệm:




; 8;2
x y 

19.
1 4 4
2 1 0
1 1
1
1
( 1)( 1) 1 2 1 2
2
x
x x
y y
y
y
y x x y


     

 





      

ĐK:
1 ; 1
x y
 

Đặt


1 ; 1 0 ; 0
x a y b a b
     

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


 
2
2 2 2 2 2 2
1 2 4 4 0 2 2 0
a b ab b ab b a b ab ab
           

Do
0 ; 0
a b
 
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 
2
2 2 2
2
2 0
0
2 0
b
b
a
a ab a b


 



 


  

Khi đó:

1 0
1
5
1 2
x
x
y
y

 




 

 


Nhân thấy rằng
1
5
x
y




thõa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm:




; 1;5
x y .
Bài 10 (Nguyễn Phương Hà)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
3 2
3 3 2 2 2 2
43
2 3 4 0
27
6 3 5 6 2 1
xy y xy
x y xy xy x y x y
   
     




Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
   
2
3 3 2 2 2 2 2
1
6 3 5 6 2 1 3 1 1 0
3
x y xy xy x y x y xy x y x xy
 
             
 

Thay
1
3
xy

vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

2
1 1
1
9 3
y y x
      

Vậy hệ có nghiệm:
 
1 1

; 1;, 1;
3 3
x y
   
  
   
   

22.
2
2
2 2
3 10 0
x x y y y
y xy x y
    
    




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
 
2 1
2 1 2 2 0
2 2
x y y

x y y x y y
x y y

  
       

   

 Với
2
2 1 1
x y y x y
     
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3 2
4 4 9 0 1 2
y y y y x
       

 Với


2 2 2
x y y y
     
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
1
3 8 15 6 0

3
y y y y
     
(Loại)
Vậy hệ có nghiệm:




; 2;1
x y 

Bài 11 (Phan Thị Hằng)

24.
 
3
3 2 2
2 2
( 1)(2 1) ( 2 ) 7 1
3 2 9 8 3
x y x xy x y x y x
x y x y
         
   




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
2
2 3 4 1 0
3 4 1 0
y x
x y x x y y
x x y y
 

      

    

 Trường hợp 1 :
2
y x
 
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
5 3 0
x
  
Vô nghiệm
 Trường hợp 2:

2 2
3 4 1 0
x x y y
    
kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có hệ mới:
 
2 2
2 2
3
2 2
2 2
3 4 1 0
3 4 1 0 0
5 20 0
4
3 3 2 9 8 9
3 2 9 8 3
x x y y
x x y y y
y y
y
x y x y
x y x y

    

     

 
    

 

 
   
   




Với
0
y

Thay vào giải ta được
3 13
2
x


Với
4
y
 
. Thay vào giải ta được
3 13
2
x


Vậy hệ có nghiệm:
 
3 13 3 13
; ;0, ; 4
2 2
x y
   
 
 
   
   
   

Bài 12 (Vương Thị Hiền)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
25.
2( ) 2
1 1
4
x y x y
xy
xy
x y xy
x y
y x
 

  

   






ĐK:
; 0
x y

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


2
2 2 2 2
2 2 2 0 0 2
x y x y xy y xy x xy y x xy x y xy x y x y xy
                

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:



2 2
3 4 0 1 4 0 1
x y xy xy xy xy xy xy xy
          

Khi đó ta có:
3 5
3
2
1
3 5
2
x
x y
xy
y




 



 





Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:
 
3 5 3 5
; ;
2 2
x y
 
 

 
 
 

26.
2 2
2 2 2
(2 ) 2( ) 6
x x y y
x x xy x y
    

    



Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có dạng
2 2
0
A B
 

Đáp số:




; 1;1
x y 
27.
3 3
2 2
10 10
7 3 10
x y x
x y xy x y
  
   


Hướng dẫn: Cộng vế với vế của hai phương trình làm xuất hiện nhân tử chung
x y

Đáp số:




; 1;1
x y 
Bài 13 (Nguyễn Tài Hiếu). Giải các hệ phương trình sau :
28.
2 2
2 2
2 3 5
8 8 0
x y x y
x y x y
   
    


Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có nhân tử
x y

ĐS :
 
5 65 5 65 5 65 5 65
; ;
4 4 4

; ,
4
x y
   

 
  
 
 
    
 
   

29.
3 2 2
3 2 2 2
1 0
2 1 4
x xy y
x y x x y
   
  


Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử:
1
x

ĐS
   
3
; 1;1, 1;
4
x y

 

 
 

30.
3 2 2
2 2 6
x xy x x y x y
y x x y
    
    





ĐS :
3
3
x
y





Hướng dẫn:Phương trình thứ nhất có nhân tử
x y

ĐS:




; 3;3
x y 

Bài 15 (Phan Thị Ngọc Huyền).
33.
 
 
2
3 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2 4 2 3 2 1
4 4 0
y x y x y y x y x

y
y x y y
 
       
 
 
   






HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
0 ; 1
y y
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:





2 2 2 2
4 2 2 4 0
y x y y x y y y y
       

 


 
2
2
2
2
2
9
2 2
y x y
y x y y
y
y x y y


   

  

  

 Với


2
2
y x y y
   
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
2 2
35
2 4 4 0 8 0 8
4
y y y y y x

            (Loại)
 Với


2
2 2
y x y y
  
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:

      
2
4 1 4 1 0 2 1 0 1
y y y y y

         

Với
2
1 1 1
y x x
     

Vậy hệ có nghiệm là:




; 1;1
x y  
34.
6 3 2 2
3
3
3 24 (2 )(9 18 11) 0
1 2 2 1 6 1
x y y x x y
y x x y
     
 

   


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2 4 2 2 2
2 3 6 9 12 18 1 0
x y x x y x y y
      

 Với
4 2 2 2
3 6 9 12 18 1
x x y x y y
    
=0 Ta có
 


 
2
2 2
2
6 9 12 12 18 11 27 2 1 24 0
x
y y y y
          
Phương trình vô nghiệm

 Với
2
2
x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
 
      
3 3
2 2
3 3
3
2 1
1 2 1 4 1 1 0 1
1
4 1 2 1 4 1 2 1
x x x x x
x
x x x x
 
 
          
 

     
 

Với
1
1
2

x y
  

Vậy hệ có nghiệm :
 
1
; 1;
2
x y
 

 
 

35.
2 2
2 2
( )(2 ) 5 3 3
( ) 2 7
x y x y x y y
x y x y x y

     


     

ĐK:

2
x y

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2
3 2 1 0
x y x y
    

Do
2 2
2 1 0
x y x y
    
nên 3 0 3
x y x y
     
.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
 
  
2
2
2
4
4

1
3
33 4 3
13
1 10 13 0
3 4 3
10
y
y
y
y y y
y
y y
y y y






 

      
 


 
  

   



Với
1 2
y x
  

Với
13 17
10 10
y x  
Vậy hệ có nghiệm:
   
17 13
; 2;1, ;
10 10
x y
 

 
 

Bài 16 (Hoàng Thu Hương)
36.



3 3 2 2
2 2
3 2 1 3 2 1 0
7 6 14 0
x y x y y y x x
x y xy x y

         


     

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
; 1
x y
 

Từ phương trình thứ hai ta có:
 
2 2
2 2
10
2
0

( 7) 6 14 0
1 1
3
0
7
6 7 14 0
1 1
1
3
x
y
x
x x y y y
x y
y y x x x
y x
y

 
 

 
     
  

   
  
   
 
     


  

 



 

Từ phương trình thứ nhất ta lại có:








3 3
1 3 1 1 3 1
x y x y y x y x
          

Xét hàm số



3
3 1
f t t t t
  
. Ta có




2
‘ 3 1 0
f t t
  
. Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất có dạng:
1 1
x y y x
    

Xét hàm số:




1 0
g a a a a
   
. Ta có
 
1

‘ 1 0
2 1
g a
a
  

. Hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng




g x g y x y
  

Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
3 13 14 0
7
3
x
x x
x


   



Vậy hệ phương trình có nghiệm:
   
7 7
; 2;2, ;
3 3
x y
 

 
 

37.




  
2 2
4 3 2 2 2
1
1
2
1 1
4 6 2 4 4 2 1

x y xy
x y
x x x y y xy x x y
  


 


        

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
2
2
2
2 1 0 1
x x y y x
      

Thay
 
2
1
y x
 
vào phương trình thứ nhất ta có:




 
 
 
 
  
 
2 3 2
4
2 2 3 2
4
2
2
4
1 2 1
1
1 1 1 2 1 2 1 0
2
1 1 1
1
1 0
0
x x x x x
x x x x x x x
x x
x
x x
x

     
 
           
 
 
  
 


   


Với
1 0
x y
  

Với
0 1
x y
  

Vậy hệ có nghiệm là:





; 0;1 1;0
x y 
38.
4
4
2 2 2
1 1 32
2 6 0
x y
y x
x y x y x y

 
 

   

 
 

 
 

     

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 

4
4
4
4
1
1 1 1 1 1
1
x y
y x
 
 
 
      
 
 
 
 
 
 

Xét hàm số:
     
4
4
1
1 1 0
f t t t
t
 
    

 
 
.Ta có
   
3
3
1
‘ 4 1 4 0
f t t t
t
 
    
 
 
Nên hàm số đồng biến.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Phương trình thứ nhất có dạng
 
1 1
x y
x x
f f
x y
y y
  

   

 

 

 

Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
2 3 6 0 2 2
x x x x y
         

Với
x y
 
.Thay vào phương trình thứ hai cảu hệ ta có:
3 2
2 6 0 3 3
x x x x y
         

Vậy hệ có nghiệm





; 2; 2;, 3; 3
x y
   

39.
 


 
2
2 2 2 2
2 2
15 9 15 94
6 94 4 6 2 0
y xy x y y
y x y xy
x y x x y
x
      
  

  
  



Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
 


 
 
2
2
2 2
2 2 2
2
3 4 4 6 9 0
4 2 3 4 6 9 0
‘ 0
3 1
‘ 0
3 1
4 2 3 4 6 9 0
3 4 4 6 9 0
x
y
y y y
x x y y y
y
x
y y x x x
x x x


    

     
 

  

  
  
   
 
  
     


    
 


Thế
2
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
6 9 4 6 85
x x x y y y

     

Xét hàm số:


3 2
6 9
f x x x x
  



3 2
4 4
g y y y y
    với


; 3;1
x y . Ta có:


2
‘ 3 6 9 0
f x x x
   
Nên hàm số đồng biến



1 4
f x f
  



2
‘ 3 8 6 0
g y x x
    
Nên hàm số nghịch biến




3 81
g y g
   

Khi đó ta có:




       
85
1 3 85
f x g y
f x g y f g

  


    


Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




   
1
1
3
3
f x f
x
y
g y g
 




 
 
 

Thử lai thấy rằng




; 1; 3
x y
 
Không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm.

Bài 17 (Tôn Lương Khuê).

40.
2
2 2
( 1) 1
( ) 2 (1 )
x y
x y xy x

  


  

Hướng dẫn: Thế
y
từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai.
ĐS:






; 0;0, 1;1
x y 

41.
3 3
2 2
( 1) ( 1) 12( ) 24 0
1
2
x y x y
x y x y

      


   

Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử

2
x y
 
.
ĐS:
 
3 1 1 3
; ;, ;
2 2 2 2
x y
 
   

   
   

Bài 18 (Trần Phan Trung Kiên)

42.
1 8
10 5 8
x y
x y

  


   

Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất cộng (trừ) phương trình thứ hai rồi đặt ẩn phụ
ĐS:




; 26;9
x y 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
43.
2 2
2 2
5 5
( ) 2 6 7
y x x
x y x y

  


   

Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai có nhân tử
2 1

y

ĐS:






; 0; 1, 24;11
x y  

Bài 19. (Đặng Thị Lê )
44.
3 2 3
2 2
1
3 5 3 0
36
3 3 6 1 0
y y y x x
x y x y

     



    

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:


2 2
‘ 9 3 3 1 9 3 8 0
x
y y y y
         
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

45.
4
4
2
3 1 1
x y x x x y y y y x x y
x x y

      


   

ĐK:
; 0
x y

Đặt


4
4
; ; 0
x a y b a b
  
. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


5 4 5 4 4 4 4 3 2 2 3 2 3 2 4 3
0
2 2 2 1 0
a b a a b b ab a b a b a a b a b a a b ab ab b b

 
                  
 


a b
 
Hay
4
4
x y x y
  

Thay
x y

vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2 2
1
3 1 2 1 4
2
3 1 4 4 1
x
x x x
x x x



     


   

Vậy hệ có nghiệm:




; 4;4
x y 

46.
2
2
2
( ) 1
2
3
x xy
x
xy x y x y
y y
x x
y y

 
    

 
 

 


 

Hướng dẫn:Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp.
ĐS:
 

1
; 3;
3
x y
 

 
 

Bài 20 (Lê Thị Kim Liên).
47.


 
2 2 2
3 3
2
2 2 2 2
2
2
3
3
8 3 1 3 1
4 3 1 2 1 1
1
2 1 4
y x y y
y y x y x

    




       

Đặt:
 
2
3
1 ; 1 4 0
y a x b b
    
. Ta có:
3 2 2
2
3 2 2
3 2 3 0
3 2 0
a a a b b
a b b
a a a b

    

  

   

Thay
2
a b b
 
vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
       
3 2
2 2 2 2 5 4 3 2
3 2 3 0 3 6 7 2 1 0 0
b b b b b b b b b b b b b b b
                

Với
0 0
b a
  
. Khi đó:
2
2
1
1 4 0
2
1 0
1
x
x
y
y



 
 
 

 
 
 
 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Hệ có nghiệm là:
 
1
; ; 1
2
x y
 
  
 
 

48.
2

2 2
( 1) ( 1)( ) 1
( )( 2 ) 1 ( ) ( 2 3)
y x x y
x x y x x x y x y

    


       

Đặt 1 ; 1
x a y b
   
. Ta có:
2 2
3 2 2 3
1
2 3 2 2
b a ab
b a b ab a a b

   


     

(Hệ đẳng cấp)

Bài 21 (Lê Thị Diệu Linh)
49.
2 1 ( 1)( 1) 4 0
1
1 1 1
3 2 1
x y x x y
y
x y
x x

       



    

  

Hướng dẫn:Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ vô nghiệm.
50.
       
2 2
3 3
3 3
( 1) 5( 1) 6( 1)
( 1) 1 1 1 1 3( 1)

x y y
x x y y x y

    


        

Hướng dẫn: Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp.
ĐS:








; 0;0, 2; 2, 1; 1
x y
    

Bài 22 (Nguyễn Thanh Mai).
51.
2 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
(2 )(4 2 1) 7
x y x y x y xy x y x

x y x y xy x y

       


    

Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp :
    
2 2 2 2
2 0
x y x y y x y x
      

ĐS






; 0;0, 1; 1
x y
 

52.
2 3 2
3 2 3 3 2 2

4( 1) 8 2 ( 2 1) ( 2)
( ) ( 3) 3 4 ( 2) ( 2)
xy y y x y
y x y x y xy y xy y

      


         

Bài 23 (Nguyễn Viết Mạnh).
53.
3 3 2 2
3 2
2 0
2 2
x y x y xy xy x y
x y x x y

      


    

ĐK:

0
x y
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
1
1 0
0
y x
x y x y x y
x y x y
 

      

   

Trường hợp 1:
1
y x
 
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
0 1
2 0

1 0
x y
x x x
x y
   

   

  

Trường hợp 2:
2 2
0
x y x y
   
. Do
2 2
0
0 0
0
x
x y x y x y
y


       


Thử lại thấy rằng




; 0;0
x y  không thỏa mãn phương trình thứ hai.
Vậy hệ có nghiệm là :






; 0; 1, 1;0
x y  
Bài 24 (Trần Thị Bích Ngọc).

55.
2 2
3 3 2
10 5 2 38 6 41 0
6 1 2
x y xy x y
x xy y y x

     

     

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Từ phương trình thứ nhất ta có:


2 2
10 2 19 5 6 41 0
x x y y y
     

Để phương trình có nghiệm:
 
2
‘ 0 49 1 0 1
x
y y
       

Thay
1
y

vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
2

10 40 40 0 2
x x x
    

Thử lại thấy rằng




; 2;1
x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm:




; 2;1
x y 
56.


 
4 4 2 2
2 2
2 2 2
2 2
22
3 2
3 4 8
x y x y

x y
y x
x y
xy y x

 

 



  

ĐK:
; 0
x y

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


 
 




 

2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 0 0 0
x y x xy y x xy y
x y x y x y
x y
y x xy x y
x y x y x y
x y
x y
x y
 
    
   
 
 
         
   
 

   
 
 



  

 

Với
x y

.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
x x x x y
       

Với
x y
 
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
y y y y x
         

Vậy hệ có nghiệm:





; 1;1, 1; 1
x y
 
.
57.
3 3 2
4
4
4
3 4 2 0
1 1
2 2
2 2
x y x x y
y x y x

     


      

ĐK:
0; 0
y x
 

.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
3
3
1 1
x x y y
    

Xét hàm số


3
f t t t
 
ta có


2
‘ 3 1 0
f t t
  
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :




1 1 1
f x f y x y x y

        

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
4 4
4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
y y y y
          

Xét hàm số :




4 4
1 1 0 1
f t t t t t t
       
. Ta có :
 
 
4 3 3
4
1 1 1 1
‘ 0
2 2 1
4
4 1

f t
t t
t
t
    


Nên hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng
 
1 1 1
2 2 2
f y f y x
 
    
 
 

Vậy hệ có nghiệm :
 
1 1
; ;
2 2
x y
 

 
 
.
Bài 25 (Biện Thị Nguyệt)

58.
2
2 2
( 1) ( 3) 2 0
( 3) 8 6 2 11 0
x x y y
x x xy x

    


     

Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3
2
f t t t x y
    

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐS:



; 1;1
x y 
59.
2 2
2 2
3 3 0
2 1 2 3 1 0
x y x y
y x y x

   


     

Hướng dẫn: Chuyển vế và bình phương hai vế của phương trình thứ nhất.
ĐS:
   


; 1;1, 2 2;2 2
x y   
60.
3 3 2 2
2 2
2 1

2 6 2 3 0
x y x y y
x y x y

    


    

Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3 2
1
f t t t t x y
     

ĐS:






; 0; 1, 2;1
x y  
Bài 26 (Lê Thị Nguyệt).
61.

 
     
 
4
9 18 8
2
1 1 0
1 1 3 1 2
y x
x y y y y x

   


      

Đặt
   
2
1 ; 1 0, 2
y b x a b a
     

Ta có hệ:

 
 
2

2
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
9 8 9
2
2
4 0
3 4 0
a b
a b
a b a a b a b a b a b a b a b ab b
a ab b

 

 
 

 
         
  



2
2
2
2 0
a b

b b
a b

 
     



Vô nghiệm
Vậy hệ vô nghiệm.
62.
3 2
2 2
20 3 3 0
3 1
y y xy x y
x y y

     


  

Hướng dẫn: Thế
3 1
y

từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.

ĐS:
 
3 1 3 1
; ;, ;
2 2 5 5
x y
 
   

   
   

63.
2
1 2
2
1 12
x
x y
y
x y

 
 

 

  

 


 
 


 

Hướng dẫn: Chia phương trình một cho
x
,chia phương trình hai cho
y
.
ĐS: VN
Bài 27 (Nguyễn Thanh Nhàn)
64.
 
   
2 2
4 ( 2) 4 1 2
2 3 4 0
x y x y x y x y y x x
x x y y

        



   

ĐK:
; 0
x y

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
 
   
 
2
2
1
0
2 2 2
x y
x y
x y
x y x y x y x y
 

 
  
 

 
     
 

Do
 
 
   
 
2
2
1
0
2 2 2
x y
x y
x y x y x y x y

 

     
Nên 0
x y x y
   

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
x y

vào phương trình thứ hai của hệ ta có:

2
0
5 5 0
1
x
x x
x


  


Vậy hệ có nghiệm:






; 0;0, 1;1
x y 
65.
2 2
2 2
156 208
18 32 52 2 2 0
5 5
7 4 8

x y xy x xy y xy
x y

    



 

Đặt


; 2 ; 0
x a y b a b
  

Xét thấy




;0, 0;
a b
đều không phải là nghiệm của hệ nên
; 0
a b

Đặt



0
a kb k
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
4 4 4 2 4 3 4 4
90 40 130 156 104 0
k b b k b k b kb
    

 
 
3
2
3 2 30 32 22 20 0
3
1
k
k k k k
k



      



Với
2
3
k

Hay
8
9
x y
. Thay vào giải ta được nghiệm:
 
8 2 162
; ;
193
193
x y
 

 
 
 

Với
1
k

Hay
x y

. Thay vào giải ta được nghiệm:
 
1
; 1;
2
x y
 

 
 

Vậy hệ có nghiệm:
 
8 2 162
; ;
193
193
x y
 

 
 
 
1
1;
2
 
 
 

66.
2 2
3 4 5 6 1
1 17 4 16
x x y y
x y x

     


   

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
2
2 2
2 2
1 6 1
3 4 5 6 1
2
6 8 10 6 0 1
y y
x x y y
x x y y
  
      
     

Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có:
2
1 17 4 16 18 4 16 0
x y x x x y
        

Kết hợp


1



2
ta có:
   
2 2
2 2 2
1
6 8 10 6 18 4 16 5 1 1 0
1
x
x x y y x x y x y
y


             

 

Thử lại thấy rằng




; 1; 1
x y
 
không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ vô nghiệm.
Bài 28 (Nguyễn Thị Nhung).
67.
2 2
( 1)( 1 ) 12
3 2 1 1 2 1 0
x y x y xy xy
y x x x y y xy
     



       

ĐK:
2
2
1

1
3 2 1 0
2
1
1 2 0
1
2
x
x x
y y
y

 


  
 

 
  



  

  
1 0
12 1 1 0 0 0

1
1
2
x y
xy x y x y xy xy y
x y xy
  


            

   

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Lúc này ta có:
 
1
1
0 1 1
2
0 1
x
xy
y

 

  


 

Mặt khác theo
AM GM

ta có:
  


 
3 3
3
12 1 1 3 2 2 12 .
. 1 2
xy x y x y xy xy xy xy xy xy
xy xy xy xy
        
   

Từ



1, 2 1 1
xy x y
    

Thử lại thấy rằng




; 1;1
x y  là nghiệm của phương trình
69.
2
(2 1)( ) 2
(2 2 5) ( 3) 3 0
x y x y xy y
x x y y y

    


     

ĐK:
; 0
x y

.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
2
2 1
0 1
2 1
x y y y
x y
xy y
x y x y y
 
  
 
  
 

   
 

Từ phương trình thứ hai ta lại có:
     
     
2 2
2
3 2 1 0
3 2 0 1 2 2
x y x y x

x y x y x y
      
         

Kết hợp




1 2
cho ta
x y

Thay vào giải ta nhận được nghiệm:
   
3 3
; 1;1, ;
5 5
x y
 

 
 

Bài 29 (Lê Thị Oanh)
70.
 
 
6 4 2 2 2 2

2
2
8 6 2 2 4
3 3
2 3
2 2
2 1
y
x y x y y y x y x y
x
x x x y x


    



    

Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có dạng
2 2
A B

71.
 
4 3 2 2 4 3 2
3 2
2

3 36 9 12 6 9 24 115
2
3
2 6 4
x x x xy x y x xy xy xy x
x x
x
x x xy
y y

         



   

Hướng dẫn: Cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đều có nhân tử
x

Bài 30 (Nguyễn Thị Hà Phương).
72.
 
 
 
2
2
2 2 2 2
1 2

1 1
4 1 6 5 1 1 ( 1)( 1)
x y
y
x y
x y x x x y


 


  


       

Đặt
 
2
1 ; 1 ; 0
x a y b a b
    
.Ta có:


2
3 2 2
2

4 5 6
b a b
a ab a b

 


  


(Hệ đẳng cấp)
73.




   
2
3
3 7 4 3 2 1 2 4 0
6 2 0
x xy y x y x y
x y y x y

      



   

Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là PT đẳng cấp:








2 2
2 2 3 2 0
x y x y x y x y
      

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
74.


2 2 2 2
2
( 5) 2 3 2 2 1
3 6
x x y x y x y
x y

      




 

Hướng dẫn: Thế
2
x
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.

Bài 32 (Nguyễn Đình Thành).
76.
 


 
 
 
2 2 2
2
3
2 14 8 3 24 12 5
1 2 3 2 3 5
x y x y xy y y
y x y x y

      

     

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
     
2
2 2
2
5 27
1 1 2 0 1
2 4
x y x x y y y x y
 
 
           
 
 
 
 
 

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
3 2 2
3
2
3
3
6

3 2 6 2 3 5 4 1 4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y y y y y y
y y
 
 
           
 
   
 

Trường hợp 1:
1 2
y x
   

Trường hợp 2:
2
2
3
3
6
4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y
y y
   
   

 

2
2
3
3
2
3
3
18
2 (3 5) 2 3 5 4 0 2 1
(3 5) 3 5 1
y y y y x
y y
 
 
            
 
   
 

Vậy hệ có nghiệm là:






; 1;2, 2; 1
x y
  

Bài 33 (Trần Thị Phương Thảo).

78.
   
2 2
2 2
2 2
2 4 1 4 13
2 2
x y xy
x xy y
x y
x y
x y

    



 
  




Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn

2
x y

.

79.


2 2
3 3
2 2 2 2
4
3 2 0
( ) 1
3 3
x y y y x
x y
x y x y
x
y
x y x y

    




  
  

 

Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử chung
x y

80.
3 3 2
2 2
4 4( 3 ) 3( 1) 7
( 1) ( 1) 4
x y x y x
x y

     


   

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
 
 
2

2
3;1
1 4
1;3
1 4
x
x
y
y


 
 
 

 
 
  


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được:
3 2 3
3 4 2 4 12 8 0
x x x y y
      

Xét hàm số:




3 2
3 4 2 3 1
f x x x x x
      
.Ta có:


2
‘ 3 6 4 0
f x x x
   
.Hàm số đồng biến




1 0
f x f
  

Xét hàm số :




3
4 12 8 1 3

g y y y y
      
. Ta có :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa




2
‘ 12 12. ‘ 0 1
g y y g y y
     

BBT :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :




1 0
g y g
 

Lúc này ta có :




       
0
1 1 0
f x g y
f x g y f g
  


   


Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




   
1
1
1
1
f x f
x
y
g y g
 




 




Thử lại thấy rằng




; 1;1
x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm là :




; 1;1
x y 
Bài 34 (Nguyễn Thị Thuận).
81.
2
2 2
( ) (2 2) 2
3 4 4 1 0

x y x x y
x y x y

    


    

Đặt: ; 1
x y a x b
   
. Ta có hệ:
 
 
 
2
2
2
2
2 2
2 1 2 1 0
3 2 3
a b a
b a a b
b a a b

 

     

   

 Trường hợp 1:
1
1
2 1 0
2
2
a
b b
a


    

 

Với
1
2
1
b
a






Hay
3
1
2
1
1
1
2
2
x y
x
x
y

 



 

 
 
 
 


Với
2
1
2
a
b
 






Hay
3
2
2
1
7
1
2
2
x y
x
x
y

  



 

 
 
 
 


 Trường hợp 2:
2
2
1
2 1 0
2
a a
a a b b
 
      .Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
2 2 2
1
1 2 0 1 2 1 0

2
a
a a a a a a a
a


          

 

Với
 
1 3 1
1 ; ;
2 2 2
a b x y
 
     
 
 

Với
 
1 3 7
2 ; ;
2 2 2
a b x y
 
      

 
 

Vậy hệ có nghiệm là:
 
3 1 3 7
; ;, ;
2 2 2 2
x y
   
  
   
   

Bài 35 (Đậu Bá Tiệp).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
82.
3 2 2 3 2 2
3
3
8 20 18 8 16 5 13 9 4
5 16 7
x x x x y xy y y y xy
y x

       


 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2 2
2 5 6 13 4 10 8 0
x y y xy y x x
      

 Trường hợp 1:
2 0 2
x y y x
   
.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 3
5 2 7 1 2
y y y x
     

 Trường hợp 2:
2 2
5 6 13 4 10 8 0
y xy y x x
     

.Ta có:
 
2
44 1 0 1 108
x
y y x         
Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:




; 1;2
x y 
83.
4 2 2
6 3 2
4 2
1
3
4
2
4 20
3 2
x x y y
x y y
x x


   





   

Bài 36 (Trần Đức Tín).
84.
5 2 3 3 2 5
4 4 4 3
0
0
x x y x y y
x y x y
   
  


Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử
 
2
x y

Bài 37 (Lê Văn Tố).
85.
2

4 2 2
3 3( ) 0
9 ( ) 5 0
x xy x y
x y x y x
   
   


HPT
 
 
2
2
2
2
2 2 2
3 3 3
3 3 3 5 0
3 3 5
0
4
3
1
3
0
x y x xy
x y

x
y
y
y
x y x y x
  
 
     
 
   







 







Với
0 0
x y

  

Với:
4
3
y
 
Vô nghiệm
Với
1
1
3
y x
  

Vậy hệ có nghiệm
   
1
; 0;0 1;
3
x y
 

 
 

86.
2 2
1 1 3
2013 2010 2

2012( 2012) ( )( 4024)
x y
x y
x y x y xy x y x y
   
 
        




Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
  
2012
2012 2 2012 0
2012 2
y
y x y
x y


    

 

Với
2012 2012

y x
   

Với:
2012 2
x y
 
. Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2012 2012
1 1 3 11
2012 2012 11 2012
4025 2 2010 2 2
11
2012 11 2012
2
y x
y y x
y y
y x


   


         

 


     

Vậy hệ có nghiệm:
   
11 11
; 2012; 2012, 11 2012;2012, 11 2012;2012
2 2
x y
   
      
   
   
   

Bài 38 (Nguyễn Thị Trang).

87.
3 2 3 2
2 2 2
4 5 3(2 3 ) 9
1 6 8 1
x x y y x y
x x y y
      
      





Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
           
3 2 3 2
1 1 1 2 2 2
x x x y y y
          

Xét hàm số:


3 2
f t t t t
  
. Ta có:


2
‘ 3 2 1 0
f t t t
   
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng :



1 2 1 2 3
f x f y x y x y
         

Thế
3
x y
 
Vào phương trình thứ hai của hệ ta được :

Vậy hệ có nghiệm :






; 1;4, 1;2
x y  
88.
3
3 2 2
2 2
2 367 2
3 8 3
3 18 3
7 6 14

x x
y y x y
y x xy x y
     
    




Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
7
1
7 6 14 0
0
3
0
10
6 7 14 0
2
3
x
y
y
x x y y y

y y x x x
x

 

     
 

  
 
  
 
     

 


 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta lại có:
3 2 3 2
12 12 367 54 54 18 144
x x x y y y      
Xét hàm số:


3 2
12 12 367

f x x x x
   với
10
2;
3
x
 

 
 

Ta có:


2
‘ 36 24 367 0
f x x x
   
Nên hàm số đồng biến




2 878
f x f  
Xét hàm số:


3 2
54 54 18

g x y y y
    Với
7
1;
3
y
 

 
 

Ta có:


2
‘ 162 108 18 0
g y y y
    
. Nên hàm số nghịch biến
 
7
1022
3
g y g
 
   
 
 

Lúc này ta có:





     
144
7
2 144
3
f x g y
f x g y f g
   


 
    
 

 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




 
2
2
7
7

3
3
f x f
x
y
g y g
 


 

 
 


 
 

 

Thử lại thấy rằng
 
7
; 2;
3
x y
 

 

 
thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm
 
7
; 2;
3
x y
 

 
 
.

   
2 2
4 1
3 2 1 3 1
2 1
y x
y y
y x
  

     

  

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa

90.
2 2 2 2 2 2
2 2
4 3 7 4( 5 6 ) 3 2
3 10 34 47
x xy y x xy y x xy y
x xy y
       
  




Hướng dẫn: Nhân lien hợp phương trình thứ nhất của hệ.

89.
3 3 2 2
2 2
87
4 5 16 6
8
2 2 2 2 1
x y y x x y
x y x y
     

   




Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 1
;
0
2 2
0
1 3
;
2 2
x
y
y
x
 
 


 
 

   

 

 
 



 
 

 

Xét hàm số:
 
3 2
1 3
4 16
2 2
f x x x x x
 
     
 
 
. Ta có:


‘ 0
f x
 
Vô nghiệm
BBT :

Từ bảng biến thiên ta thấy :
 
1 31
2 4
f x f
 
  
 
 

Xét hàm số :
 
3 2
3 1
5 6
2 2
g y y y y y
 
      
 
 
.Ta có :
 
5 7
‘ 0
3
g y y
 
  

BBT :

Dựa và bảng biến thiên thấy :
 
3 9
2 8
g y g

 
 
 
 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Ta có :
   
   
71
8
1 3 71
2 2 8
f x g y
f x g y f g

 


   

     
   

   

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
 
 
1
1
2
2
3
3
2
2
f x f
x
y
g y g

 

 
 
 


   

 
 
 
 
 
 



 

Thử lại thấy rằng
 
1 3
; ;
2 2
x y
 
  
 
 
.Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm
 
1 3
; ;

2 2
x y
 
  
 
 
.
Bài 39 (Phạm Thị Trà)
92.
3 3 2 2
2 2
5 8 100
( ) 5 13
3 3 3
3 4 4 0
x y x y x xy x
x y xy x y

      



     

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
  
 

2 2
2 2
7
1
3 4 4 0 1 3 7 0
0
3
0
4
4 3 0
4 3 4 0
0
3
x
y
y
x x y y y y y
x x
y y x x x
x

 

        
 

   
  
   
 

 
     


 



 

Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
3 18 45 3 2 8 108
x x x y y y     
Xét hàm số:
 
3 2
4
3 18 45 0
3
f x x x x x
 
    
 
 
. Ta có:

2
9 6 45 0
x x
  
.
Nên hàm số đồng biến
 
4 892
3 9
f x f
 
  
 
 

Xét hàm số :
 
2
7
3 3 8 1
3
g y y y y y
 
    
 
 
. Ta có
 
4
‘ 0

3
g y y
  

BBT :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
 
4 80
3 9
g y g
 
 
 
 

Ta có :




   
108
4 4
3 3
f x g y
f x g y f g
  

   
  
   

   

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
 
 
4
4
3
3
4
4
3
3
f x f
x
y
g y g

 



 


   


 
 
 


 



 

Thử lại thấy rằng
 
4 4
; ;
3 3
x y
 

 
 
. Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Vậy hệ có nghiệm :
 

4 4
; ;
3 3
x y
 

 
 
.
93.
 
(11 6 9) 14 9 (2 )(2 3 )
11 3 7
2
3
2
y x y x xy x x y y y x
x
y x
x

       



 


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
3 11 9
2 2 3 0 1
11 9 9 14 9
x y
x y y xy
y x y x xy x
 
 
 
   
 
    
 

Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có :
11 1
2 3 2 2 3
3
2
11
3 11 3 9 0
3
y x x
x
y x y
    


      

  
3 11 9
2 3 0
11 9 9 14 9
x y
y xy
y x y x xy x
 
  
    

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
0
3 11 9 0
y
xy
x y




 


  


Vô nghiệm
Nên từ


1
ta có :
2 0 2
x y y x
   
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2
22 3 7
2 73 74 147 0 1 2
3
2
x
x x x x x y
x

         

Vậy hệ có nghiệm là :




; 1;2
x y .

Bài 40 (Nguyễn Thị Trinh)
94.
3 3 3 2 2
4 2
( 3 )( 3 ) (3 4) 28 32
4 1 5
x y x y y x x y
x y

      


   

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




   
3
2 2
1 1 3 3
x x y y
      

Xét hàm số:


3
f t t t
 
.Ta có:


2
‘ 3 1 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng




2 2
1 3 4
f x f y x y
     
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
2 2 2
4 2 6
4 4 1 5 4 3 5 1 9 14 16 0
3 3
y y y y y y y x                 
Vậy hệ có nghiệm:

 
2 6 8
; ;
3 3
x y
 
 
 
 
 

Bài 41(Trần Thị Cẩm Tú)
95.
2 2
2 2
8
2 2
2 1
3 3 5 8
x y
y
x y
y x

  



 

   
 

 

ĐK :
; 0
x y

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
   
 
 
2 2
3 3 2 2 2 2
3 3
3 2 2 3 2 2
2 2 8
3 3 5 2 2 2 2 2
3 3 5 16 8
2 2 0 2 1 0 2 0 2
x y y y
HPT x y xy xy x x y y y y x y y y
x y xy xy x y
x xy x y y x y x y x xy y x y x y


  

         

   


                 

Thế
2
x y

Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3 2
4 2 2 8 0 1 2
y y y y x
       

Vậy hệ có nghiệm :




; 2;1
x y 
96.
3 3
2

2
( ) ( 1)
x y x y
xy y x x y

  


   

 
       
3 3
3 3
2
2 2
2
2 1 2 1
3 3 3 3 1
x y x y
HPT x y x y y y
xy x y x y

  

        

   


Xét hàm số:


3
2
f t t t
 
.Ta có:


2
‘ 3 2 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng




1 2 1
f x y f y x y
     

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3 2
0 1

2 2
6 12 3 0 1 2
2
2 2
1 2
2
y x
y y y y x
y x


  

 

        


 

    

Vậy hệ có nghiệm :
   
2 2 2 2
; 1;0, ; 1 2, ; 1 2
2 2
x y

   
   
    
   
   
   

98.
( )(6 6 1) 3 7
( )(6 6 1) 2 11 0
x y x y xy
x y y x xy
    


     

2 2
2 2
6 6 3 7 0
4
2 4 0
2
6 6 2 11 0
x x y y xy
HPT x xy x
y
x x y y xy

     

      


      

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
 
4 3 3 2
3 4
6 23 39 52 60 0 3 3 2 2 3 10 0
2 3
2 2
y x
y y y y y y y y
y x
  


            

    

Vậy hệ có nghiệm là:
   

3 2
; 4;3, ;
2 3
x y
 
  
 
 

99.
2
( 6 3) 3 (8 3 9)
8 24 417 ( 3) 1 3 17
x y xy y y x y
x x y y y y

     


        

Với
0
y

Thì hệ vô nghiệm
Với
0

y

. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :




3 3 3 3 6 3 8 0 3 2 4 3
x x x y y x y y x y x y
             

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
    
4 4 6 3 1 2 17
y y y y y
      

ĐK:
1 6
y
 

 
  
1 5 19
1 3 0 1 1
3 17 4 4 6
y y
PT y y y x
y y y

 
 
 
        
 
   
 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
100.
2
2
3 2 4 91 0
2 3 61 0
x xy x y
y xy x y

    


    



 

  
2
2 2
2
2 3 2 4 91 0
6 6 5 5 1 0 2 3 1 3 2 1 0
3 2 3 61 0
x xy x y
HPT x y x y xy x y x y
y xy x y

    

             

    

Với
3 1
2 3 1 0
2
y
x y x

    . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
2
3 4
13 2 123 0

41 68
13 13
y x
y y
y x
  


   

    

Với :
2 1
3
y
x
 
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
2 1
61 92 61
3
y
y x
 
     

Vậy hệ có nghiệm là :

     
61 41
; 4;3, ;, 61; 92
13 13
x y
 
   
 
 

Bài 42 (Trần Thị Ái Vân):
101.
 
2
2
3 7 4
2 1 (2 1)
x y y x
y y xy x x xy

   



    

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :



2
3 3 1 1
x y x y x x
      

Xét hàm số :




2
3 0
f t t t t
  
Ta có :


‘ 6 1 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng:


2 1 1
y x 
Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có :




4 4 4 0
x y x y x y y x
      

Với
x y
 Thay vào


1
thì phương trình vô nghiệm.
Với
4 4 4 0
x y x y y x
     
kết hợp


1
ta có :
 
0 1
4 7 11 0
1 9
x y
x x x
x y

  

   

  

Vậy hệ có nghiệm là :






; 0;1, 1;9
x y 
103.




2 2
4 2 2
3 3 3
2 2 2
x x y y
x y

    



   

Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra
x y
 

106.
2 2 2 2 2
2 2 2
3 8 5 3(5 ) 3 9 10
(3 5 ) (5 3 ) 27 509
x xy y y xy x xy y
x y x y x

      


    

Hướng dẫn: Nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ.
108.
2
(4 11) 2 7 (3 4 ) 2 3 0
2 2 3 4 3 2 8 10
x x y y

x y y x y y

     


       

Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3
2 3
f t t t
 

109.
2 2
3 3
4
3
( 4) 4 ( 4) 3 0
15 15
x x x x
x x
y y y y
x xy x

   

     

 
 

   

 

Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất có nhân tử
2
3
x
y
.
      Lấy1 2  ta có :     2 22 21 01 4 2 6 04 2 6 0 x yx y x xy y x yx xy y x y                    Trường hợp 1 : 2 2 2 24 2 6 0 2 4 6 0 x xy y x y y x x xy              Ta có :   2 8 0       Nên phương trình trên vô nghiệm.  Trường hợp 2 : 1 0 1 x y y x      . Thay vàoTa có : 3 26 0 3 2 23 2 2 x x x x         o Với0 1 x y    o Với3 2 2 4 2 2 x y      o Với. 3 2 2 4 2 2 x y     . Vậy hệ có nghiệm là :     ; 0 ; 1, 3 2 2 ; 4 2 2, 3 2 2 ; 4 2 2 x y      2.2 21 01 0 y x y xxyxy x y          ĐK : ; 0 x yTừ phương trình tiên phong của hệ ta có :     2 02 02 0 y x y x xyx yy x y xy x              Vớix y. Thay vào phương trình thứ hai ta có : 1 0 1 x x      Với2 0 y x  . Do ; 0 x y. Nên phương trình vô nghiệmVậy hệ đã cho có nghiệm : ; 1 ; 1 x y  Bài 2 ( Nguyễn Văn Anh ) 3.3 3 2 23 3 2 22 35 ( ) 8 05 1 2 x y x yx yxyx y x yx yx y         ĐK : ; 0 2 x y    Phương trình thứ nhất của hệ thương đương với : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa       3 23 3 2 22 32 0 2 0 x y x yx y x yx y x yxy xyx y x y                Vớix yTa thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có :         2 21 12 25 55 1 2 35 1 2 2 5 1 2 9 2 5 1 2 9 4 1 x xx x xx x x x x x x x x                                           3 22 132 139 1 9 3 1 09 4 1 4 5 1 2 0 x x x xx x x x                        Vậy hệ phương trình có nghiệm là ; 1 ; 1 x y  Bài 3 ( Hoàng Đình Chung ). 6.2 22 2 2 210 3 29 2 202 5 5 5 2 5 5 5 x y x xy x yx y x y x x x y x y y y                       Từ phương thứ hai của hệ ta được   2 2 2 22 2 2 22 5 2 5 5 5 5 5 01 1 110 02 5 2 5 5 55 510 x y x y x y x x y y x yx yx y x y x yx y x x y yx y                                                   Thay10x y   Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :           2 210 10 10 3 10 27 10 0 10 17 73 0 10 y y y y y y y y y y                Với10 0 y x    Vậy hệ phương trình có nghiệm là ; 0 ; 10 x y  7.3 2 2 22 2 2 25 2 2 2 0 x x x y xy xyx x y xy y          Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :   2 22 25 2 2 2 05 2 2 2 x x xy x y yx xy y x y           Với0 0 x y    Với : 2 25 2 2 2 x xy y x y     phối hợp phương trình thứ hai của hệ ta có : 2 22 2 2 25 2 2 22 2 2 0 x xy y x yx x y xy y         Xét thấy ; 0 ; 0 x y  là 1 nghiệm của hệ. Với ; 0 x yĐặtx ayta có hệ : 2 2 22 3 3 2 2 25 2 2 2 2 12 2 2 a y ay y y ya y ay a y y                    2 2 22 22 25 2 2 25 2 2 2 1 2 2 2 02 2 2 11 35 2 2 2 2 1 01 3 a a aa a a a a aa a aa a a a                       Với. 1 3 . Thế vàota tìm được : 3 1 1 y x     HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaVới1 3  Thế vàota tìm được : 3 1 1 y x      Vậy hệ có nghiệm :     ; 0 ; 0, 1 ; 3 1, 1 ; 3 1 x y     8.2 2 6 2 3 4 2 42 0 x x y xy y xy y x yxy          Hướng dẫn : Rúttừ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi nghiên cứu và phân tích có nhân tử chung9. 3 3 2 2 22 3 2 01 04 2 x y xy xy x yx y            Từ phương trình thứ của hệ ta có :     3 3 2 2 22 3 2 0 2 1 0 x yx y xy xy x y x y x y               Với    Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 1 11 0 2 0 x x           Vô nghiệmVớix yThay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 1 05 1     Vô nghiệmVậy hệ phương trình vô nghiệm. 11.     2 2 ( ) 3 3 2 3 15 232 2 3 x y x y xy y yx x y                  Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :         3 33 2 3 26 16 9 31 23 2 4 2 3 4 3 x x x y y y x x y y               Xét hàm số : ( ) 4 f t t t   ‘ 3 4 0 f t t     Hàm số đồng biếnPhương trình thứ nhất của hệ có dạng : ( 2 ) 3 2 3 1 f x f y x y y x           Thay 1 x y   vào phương trình thứ hai của hệ ta có :   3 1 3 1 1 0 13 1 2 x x x x x                   Với1 0 x y    Vậy hệ có nghiệm : ; 1 ; 0 x y  Bài 7 ( Đậu Thị Giang ) 13.3 3 22 23 17 18 3 13 96 5 10 0 y xy x x x yx y xy y x              Rútxytừ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :     3 2 3 35 3 3 2 1 2 1 2 y y y x x y y x x            Xét hàm số : ( ) 2 0 f t t t     Hàm số đồng biến1 1 f y f x x y      Thayx y   vào phương trình thứ hai của hệ ta được : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa3 14 16 0 y y     Với8 53 3 y x    Với2 1 y x    Vậy hệ có nghiệm :     5 8 ; 1 ; 2, ; 3 3 x y       14.2 22 24 2 2 5 32 5 2 3 10 x xy y y xx xy y x          Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     1 4 2 3 04 3 x yx y x y          Với 1 x y   thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta : 4 13 39 6 8 02 53 3 x yx xx y             Với4 3T hay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta : 11 8915 11 015 30 x x y       Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là :   4 1 2 5 11 89 ; ;, ;, ; 3 3 3 3 15 30 x y                     15.2 23 3 3 9 3 4 03 6 2 10 3 0 x xy y x yy xy x y            Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :     1 3 2 3 02 3 y x yy x        Vớithay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta : 163 10 0 x x     Với2 3 y x   thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta : 15 27 31 0 x x     Vô nghiệmVậy hệ phương trình vô nghiệm. Bài 8 ( Nguyễn Thị Giang ) 16.3 3 2 22 24 6 3 03 4 7 0 x y x x y yx y x xy y              Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :       3 23 3 2 2 3 24 6 3 0 1 4 1 6 1 4 6 x y x x y y x x x y y y                 Xét hàm số : 3 2 ( ) 4 6 f t t t t    ta có : ‘ ( ) 3 8 6 0 f t t t     nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất của hệ có dạng : Thayy x   vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 3 4 12 0 x x     Vô nghiệmVậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 17.2 2 03 5 x x y y xy y y xx y x y xy            ĐK : ; 0 x yHỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaThếxytừ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 4 2 0 1 1 x x y y x x y x x y y y             Xét hàm số : f t t t   ta có : ‘ 3 1 0 f t t   . Nên hàm số đồng biếnPhương trình có dạng : 1 1 f x f y x y      Thayy x   vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 0 0 1 x x x y       Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 0 ; 1 x y  Bài 9 ( Nguyễn Thị Trà Giang ) 18.4 21 1 13 4 8 1 x yy x yx y y        ĐK : 1 ; 3 4 8 y x y    Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     3 4 2 4 1 0 13 2 x y y x y x yy x y                   Do2 2 2 11 3 3 3 2 3 13 33 2 3 2 y y y x yy x y y x y                 Nên từta có : x y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 1 1 12 1 1 y y      Đặt. Ta có :     2 3 21 11 2 1 0 12 2 a a a a a a          . Hay1 1 1 2 y y       Với2 8 y x    Vậy hệ có nghiệm : ; 8 ; 2 x y  19.1 4 42 1 01 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2 1 2 x xy yy x x y                ĐK : 1 ; 1 x y   Đặt1 ; 1 0 ; 0 x a y b a b       Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :   2 2 2 2 2 21 2 4 4 0 2 2 0 a b ab b ab b a b ab ab             Do0 ; 0 a b   Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :   2 2 22 02 0 a ab a b        Khi đó : 1 01 2       Nhân thấy rằngthõa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm : ; 1 ; 5 x y . Bài 10 ( Nguyễn Phương Hà ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa3 23 3 2 2 2 2432 3 4 0276 3 5 6 2 1 xy y xyx y xy xy x y x y           Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :     3 3 2 2 2 2 26 3 5 6 2 1 3 1 1 0 x y xy xy x y x y xy x y x xy                   Thayxyvào phương trình thứ nhất của hệ ta được : 1 19 3 y y x        Vậy hệ có nghiệm :   1 1 ; 1 ;, 1 ; 3 3 x y                22.2 23 10 0 x x y y yy xy x y           Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :       2 12 1 2 2 02 2 x y yx y y x y yx y y                  Với2 1 1 x y y x y      . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 3 24 4 9 0 1 2 y y y y x          Với2 2 2 x y y y      . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 23 8 15 6 0 y y y y       ( Loại ) Vậy hệ có nghiệm : ; 2 ; 1 x y  Bài 11 ( Phan Thị Hằng ) 24.   3 2 22 2 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 ) 7 13 2 9 8 3 x y x xy x y x y xx y x y               Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     2 22 22 3 4 1 03 4 1 0 y xx y x x y yx x y y                Trường hợp 1 : y x   thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 5 3 0    Vô nghiệm  Trường hợp 2 : 2 23 4 1 0 x x y y      phối hợp phương trình thứ hai của hệ ta có hệ mới :   2 22 22 22 23 4 1 03 4 1 0 05 20 03 3 2 9 8 93 2 9 8 3 x x y yx x y y yy yx y x yx y x y                               VớiThay vào giải ta được3 13V ới  . Thay vào giải ta được3 13V ậy hệ có nghiệm :   3 13 3 13 ; ; 0, ; 42 2 x y                     Bài 12 ( Vương Thị Hiền ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa25. 2 ( ) 21 1 x y x yxyxyx y xyx yy x          ĐK : ; 0 x yTừ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2 2 2 22 2 2 0 0 2 x y x y xy y xy x xy y x xy x y xy x y x y xy                  Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 2 23 4 0 1 4 0 1 x y xy xy xy xy xy xy xy            Khi đó ta có : 3 53 5 x yxy     Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm :   3 5 3 5 ; ; 2 2 x y           26.2 22 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 6 x x y yx x xy x y           Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có dạng2 2A B   Đáp số : ; 1 ; 1 x y  27.3 32 210 107 3 10 x y xx y xy x y        Hướng dẫn : Cộng vế với vế của hai phương trình làm Open nhân tử chungx yĐáp số : ; 1 ; 1 x y  Bài 13 ( Nguyễn Tài Hiếu ). Giải những hệ phương trình sau : 28.2 22 22 3 58 8 0 x y x yx y x y          Hướng dẫn : Phương trình thứ hai có nhân tửx yĐS :   5 65 5 65 5 65 5 65 ; ; 4 4 4 ;, x y                         29.3 2 23 2 2 21 02 1 4 x xy yx y x x y        Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có nhân tử : ĐS     ; 1 ; 1, 1 ; x y       30.3 2 22 2 6 x xy x x y x yy x x y           ĐS : Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có nhân tửx yĐS : ; 3 ; 3 x y  Bài 15 ( Phan Thị Ngọc Huyền ). 33.     3 2 2 2 2 22 22 4 2 3 2 14 4 0 y x y x y y x y xy x y y                   HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaĐK : 0 ; 1 y y   Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2 2 2 24 2 2 4 0 y x y y x y y y y             2 2 y x yy x y yy x y y            Vớiy x y y     thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :   2 2352 4 4 0 8 0 8 y y y y y x             ( Loại )  Với2 2 y x y y    Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :         4 1 4 1 0 2 1 0 1 y y y y y           Với1 1 1 y x x       Vậy hệ có nghiệm là : ; 1 ; 1 x y   34.6 3 2 23 24 ( 2 ) ( 9 18 11 ) 01 2 2 1 6 1 x y y x x yy x x y             Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2 4 2 2 22 3 6 9 12 18 1 0 x y x x y x y y         Với4 2 2 23 6 9 12 18 1 x x y x y y      = 0 Ta có     2 26 9 12 12 18 11 27 2 1 24 0 y y y y            Phương trình vô nghiệm  Vớix y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :           3 32 23 32 11 2 1 4 1 1 0 14 1 2 1 4 1 2 1 x x x x xx x x x                          Vớix y    Vậy hệ có nghiệm :   ; 1 ; x y       35.2 22 2 ( ) ( 2 ) 5 3 3 ( ) 2 7 x y x y x y yx y x y x y             ĐK : x yTừ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 2 1 0 x y x y      Do2 22 1 0 x y x y      nên 3 0 3 x y x y      . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được       33 4 3131 10 13 03 4 310 y y yy yy y y                     Với1 2 y x    Với13 1710 10 y x    Vậy hệ có nghiệm :     17 13 ; 2 ; 1, ; 10 10 x y       Bài 16 ( Hoàng Thu Hương ) 36.3 3 2 22 23 2 1 3 2 1 07 6 14 0 x y x y y y x xx y xy x y                 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaĐK : ; 1 x y   Từ phương trình thứ hai ta có :   2 22 210 ( 7 ) 6 14 01 16 7 14 01 1 x x y y yx yy y x x xy x                                          Từ phương trình thứ nhất ta lại có : 3 31 3 1 1 3 1 x y x y y x y x            Xét hàm số3 1 f t t t t   . Ta có ‘ 3 1 0 f t t   . Hàm số đồng biếnPhương trình thứ nhất có dạng : 1 1 x y y x      Xét hàm số : 1 0 g a a a a    . Ta có   ‘ 1 02 1 g a   . Hàm số đồng biến. Phương trình có dạngg x g y x y    Vớix y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 13 14 0 x x     Vậy hệ phương trình có nghiệm :     7 7 ; 2 ; 2, ; 3 3 x y       37.     2 24 3 2 2 21 14 6 2 4 4 2 1 x y xyx yx x x y y xy x x y               Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :     2 1 0 1 x x y y x        Thay   y x   vào phương trình thứ nhất ta có :               2 3 22 2 3 21 2 11 1 1 2 1 2 1 01 1 11 0 x x x x xx x x x x x xx xx x                                  Với1 0 x y    Với0 1 x y    Vậy hệ có nghiệm là : ; 0 ; 1 1 ; 0 x y  38.2 2 21 1 322 6 0 x yy xx y x y x y                       Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :   1 1 1 1 1 x yy x                          Xét hàm số :       1 1 0 f t t t           . Ta có     ‘ 4 1 4 0 f t t t            Nên hàm số đồng biến. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaPhương trình thứ nhất có dạng   1 1 x yx xf fx yy y              Vớix y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 22 3 6 0 2 2 x x x x y           Vớix y  . Thay vào phương trình thứ hai cảu hệ ta có : 3 22 6 0 3 3 x x x x y           Vậy hệ có nghiệm ; 2 ; 2 ;, 3 ; 3 x y     39.     2 2 2 22 215 9 15 946 94 4 6 2 0 y xy x y yy x y xyx y x x y                 Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :           2 22 2 23 4 4 6 9 04 2 3 4 6 9 0 ‘ 03 1 ‘ 03 14 2 3 4 6 9 03 4 4 6 9 0 y y yx x y y yy y x x xx x x                                             Thếxytừ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 2 3 26 9 4 6 85 x x x y y y       Xét hàm số : 3 26 9 f x x x x    và3 24 4 g y y y y     với ; 3 ; 1 x y  . Ta có : ‘ 3 6 9 0 f x x x     Nên hàm số đồng biến1 4 f x f    ‘ 3 8 6 0 g y x x      Nên hàm số nghịch biến3 81 g y g     Khi đó ta có :         851 3 85 f x g yf x g y f g         Hệ có nghiệm khi và chỉ khi     f x fg y g         Thử lai thấy rằng ; 1 ; 3 x y   Không thỏa mãn nhu cầu phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm. Bài 17 ( Tôn Lương Khuê ). 40.2 2 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) x yx y xy x       Hướng dẫn : Thếtừ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai. ĐS : ; 0 ; 0, 1 ; 1 x y  41.3 32 2 ( 1 ) ( 1 ) 12 ( ) 24 0 x y x yx y x y            Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có nhân tửx y   ĐS :   3 1 1 3 ; ;, ; 2 2 2 2 x y               Bài 18 ( Trần Phan Trung Kiên ) 42.1 810 5 8 x yx y        Hướng dẫn : Lấy phương trình thứ nhất cộng ( trừ ) phương trình thứ hai rồi đặt ẩn phụĐS : ; 26 ; 9 x y  HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa43. 2 22 25 5 ( ) 2 6 7 y x xx y x y        Hướng dẫn : Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai có nhân tử2 1 ĐS : ; 0 ; 1, 24 ; 11 x y   Bài 19. ( Đặng Thị Lê ) 44.3 2 32 23 5 3 0363 3 6 1 0 y y y x xx y x y            Từ phương trình thứ hai của hệ ta có : 2 2 ‘ 9 3 3 1 9 3 8 0 y y y y           Nên phương trình vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 45.3 1 1 x y x x x y y y y x x yx x y            ĐK : ; 0 x yĐặt ; ; 0 x a y b a b   . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 5 4 5 4 4 4 4 3 2 2 3 2 3 2 4 32 2 2 1 0 a b a a b b ab a b a b a a b a b a a b ab ab b b                                               a b   Hayx y x y    Thayx yvào phương trình thứ hai của hệ ta có : 2 23 1 2 1 43 1 4 4 1 x x xx x x           Vậy hệ có nghiệm : ; 4 ; 4 x y  46. ( ) 1 x xyxy x y x yy yx xy y                Hướng dẫn : Phương trình thứ hai là phương trình quý phái. ĐS :   ; 3 ; x y       Bài 20 ( Lê Thị Kim Liên ). 47.   2 2 23 32 2 2 28 3 1 3 14 3 1 2 1 12 1 4 y x y yy y x y x              Đặt :   1 ; 1 4 0 y a x b b     . Ta có : 3 2 23 2 23 2 3 03 2 0 a a a b ba b ba a a b             Thaya b b   vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :         3 22 2 2 2 5 4 3 23 2 3 0 3 6 7 2 1 0 0 b b b b b b b b b b b b b b b                  Với0 0 b a   . Khi đó : 1 4 01 0               HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaHệ có nghiệm là :   ; ; 1 x y          48.2 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( 2 3 ) y x x yx x y x x x y x y              Đặt 1 ; 1 x a y b    . Ta có : 2 23 2 2 32 3 2 2 b a abb a b ab a a b           ( Hệ quý phái ) Bài 21 ( Lê Thị Diệu Linh ) 49.2 1 ( 1 ) ( 1 ) 4 01 1 13 2 1 x y x x yx yx x                 Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ vô nghiệm. 50.         2 23 33 3 ( 1 ) 5 ( 1 ) 6 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 3 ( 1 ) x y yx x y y x y               Hướng dẫn : Phương trình thứ hai là phương trình quý phái. ĐS : ; 0 ; 0, 2 ; 2, 1 ; 1 x y      Bài 22 ( Nguyễn Thanh Mai ). 51.2 2 3 3 22 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 4 2 1 ) 7 x y x y x y xy x y xx y x y xy x y               Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất là phương trình quý phái :       2 2 2 22 0 x y x y y x y x        ĐS ; 0 ; 0, 1 ; 1 x y   52.2 3 23 2 3 3 2 24 ( 1 ) 8 2 ( 2 1 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) 3 4 ( 2 ) ( 2 ) xy y y x yy x y x y xy y xy y                  Bài 23 ( Nguyễn Viết Mạnh ). 53.3 3 2 23 22 02 2 x y x y xy xy x yx y x x y             ĐK : x y   Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     2 22 21 0 y xx y x y x yx y x y              Trường hợp 1 : y x  . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 20 12 01 0 x yx x xx y            Trường hợp 2 : 2 2 x y x y    . Do2 20 0 x y x y x y         Thử lại thấy rằng ; 0 ; 0 x y  không thỏa mãn nhu cầu phương trình thứ hai. Vậy hệ có nghiệm là : ; 0 ; 1, 1 ; 0 x y   Bài 24 ( Trần Thị Bích Ngọc ). 55.2 23 3 210 5 2 38 6 41 06 1 2 x y xy x yx xy y y x             HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaTừ phương trình thứ nhất ta có : 2 210 2 19 5 6 41 0 x x y y y       Để phương trình có nghiệm :   ‘ 0 49 1 0 1 y y         Thayvào phương trình thứ nhất của hệ ta được10 40 40 0 2 x x x      Thử lại thấy rằng ; 2 ; 1 x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm : ; 2 ; 1 x y  56.   4 4 2 22 22 2 22 2223 23 4 8 x y x yx yy xx yxy y x          ĐK : ; 0 x yTừ phương trình thứ nhất của hệ ta có :       2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 0 0 0 x y x xy y x xy yx y x y x yx yy x xy x yx y x y x yx yx yx y                                             Vớix y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 23 4 8 0 1 1 x x x x y         Vớix y  . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 23 4 8 0 1 1 y y y y x           Vậy hệ có nghiệm : ; 1 ; 1, 1 ; 1 x y   57.3 3 23 4 2 01 12 22 2 x y x x yy x y x              ĐK : 0 ; 0 y x   Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     1 1 x x y y      Xét hàm sốf t t t   ta có ‘ 3 1 0 f t t   . Nên hàm số đồng biếnPhương trình thứ nhất của hệ có dạng : 1 1 1 f x f y x y x y          Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 4 44 41 1 1 11 1 1 12 2 2 2 y y y y            Xét hàm số : 4 41 1 0 1 f t t t t t t        . Ta có :     4 3 31 1 1 1 ‘ 02 2 14 1 f tt t      Nên hàm số đồng biến. Phương trình có dạng   1 1 12 2 2 f y f y x            Vậy hệ có nghiệm :   1 1 ; ; 2 2 x y       Bài 25 ( Biện Thị Nguyệt ) 58.2 2 ( 1 ) ( 3 ) 2 0 ( 3 ) 8 6 2 11 0 x x y yx x xy x            Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số : f t t t x y      HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaĐS : ; 1 ; 1 x y  59.2 22 23 3 02 1 2 3 1 0 x y x yy x y x           Hướng dẫn : Chuyển vế và bình phương hai vế của phương trình thứ nhất. ĐS :     ; 1 ; 1, 2 2 ; 2 2 x y    60.3 3 2 22 22 12 6 2 3 0 x y x y yx y x y           Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số : 3 2 f t t t t x y       ĐS : ; 0 ; 1, 2 ; 1 x y   Bài 26 ( Lê Thị Nguyệt ). 61.           9 18 81 1 01 1 3 1 2 y xx y y y y x            Đặt     1 ; 1 0, 2 y b x a b a       Ta có hệ :     8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 89 8 94 03 4 0 a ba ba b a a b a b a b a b a b a b ab ba ab b                      2 0 a bb ba b         Vô nghiệmVậy hệ vô nghiệm. 62.3 22 220 3 3 03 1 y y xy x yx y y          Hướng dẫn : Thế3 1 từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ. ĐS :   3 1 3 1 ; ;, ; 2 2 5 5 x y               63.1 21 12 x yx y                  Hướng dẫn : Chia phương trình một cho, chia phương trình hai choĐS : VNBài 27 ( Nguyễn Thanh Nhàn ) 64.       2 24 ( 2 ) 4 1 22 3 4 0 x y x y x y x y y x xx x y y              ĐK : ; 0 x yTừ phương trình thứ nhất của hệ ta có :             2 2 2 x yx yx yx y x y x y x y                    Do           2 2 2 x yx yx y x y x y x y         Nên 0 x y x y     HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaThếx yvào phương trình thứ hai của hệ ta có : 5 5 0 x x    Vậy hệ có nghiệm : ; 0 ; 0, 1 ; 1 x y  65.2 22 2156 20818 32 52 2 2 05 57 4 8 x y xy x xy y xyx y        Đặt ; 2 ; 0 x a y b a b    Xét thấy ; 0, 0 ; a bđều không phải là nghiệm của hệ nên ; 0 a bĐặta kb k   Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 4 4 4 2 4 3 4 490 40 130 156 104 0 k b b k b k b kb          3 2 30 32 22 20 0 k k k k        VớiHayx y . Thay vào giải ta được nghiệm :   8 2 162 ; ; 193193 x y         VớiHayx y. Thay vào giải ta được nghiệm :   ; 1 ; x y       Vậy hệ có nghiệm :   8 2 162 ; ; 193193 x y         1 ;       66.2 23 4 5 6 11 17 4 16 x x y yx y x           Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :   2 22 21 6 13 4 5 6 16 8 10 6 0 1 y yx x y yx x y y                 Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có : 1 17 4 16 18 4 16 0 x y x x x y          Kết hợpvàta có :     2 22 2 26 8 10 6 18 4 16 5 1 1 0 x x y y x x y x y                 Thử lại thấy rằng ; 1 ; 1 x y   không thỏa mãn nhu cầu phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm. Bài 28 ( Nguyễn Thị Nhung ). 67.2 2 ( 1 ) ( 1 ) 123 2 1 1 2 1 0 x y x y xy xyy x x x y y xy               ĐK : 3 2 1 01 2 0 x xy y                    1 012 1 1 0 0 0 x yxy x y x y xy xy yx y xy                     HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaLúc này ta có :   0 1 10 1 xy        Mặt khác theoAM GMta có :       3 312 1 1 3 2 2 12 .. 1 2 xy x y x y xy xy xy xy xy xyxy xy xy xy              Từ1, 2 1 1 xy x y      Thử lại thấy rằng ; 1 ; 1 x y  là nghiệm của phương trình69. ( 2 1 ) ( ) 2 ( 2 2 5 ) ( 3 ) 3 0 x y x y xy yx x y y y            ĐK : ; 0 x yTừ phương trình thứ nhất của hệ ta có :         2 10 12 1 x y y yx yxy yx y x y y                   Từ phương trình thứ hai ta lại có :             2 23 2 1 03 2 0 1 2 2 x y x y xx y x y x y                  Kết hợp1 2 cho tax yThay vào giải ta nhận được nghiệm :     3 3 ; 1 ; 1, ; 5 5 x y       Bài 29 ( Lê Thị Oanh ) 70.     6 4 2 2 2 28 6 2 2 43 32 32 22 1 x y x y y y x y x yx x x y x           Hướng dẫn : Phương trình thứ hai có dạng2 2A B71.   4 3 2 2 4 3 23 23 36 9 12 6 9 24 1152 6 4 x x x xy x y x xy xy xy xx xx x xyy y               Hướng dẫn : Cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đều có nhân tửBài 30 ( Nguyễn Thị Hà Phương ). 72.       2 2 2 21 21 14 1 6 5 1 1 ( 1 ) ( 1 ) x yx yx y x x x y              Đặt   1 ; 1 ; 0 x a y b a b     . Ta có : 3 2 24 5 6 b a ba ab a b      ( Hệ đẳng cấp và sang trọng ) 73.     3 7 4 3 2 1 2 4 06 2 0 x xy y x y x yx y y x y            Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất là PT đẳng cấp và sang trọng : 2 22 2 3 2 0 x y x y x y x y        HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa74. 2 2 2 2 ( 5 ) 2 3 2 2 13 6 x x y x y x yx y          Hướng dẫn : Thếtừ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ. Bài 32 ( Nguyễn Đình Thành ). 76.         2 2 22 14 8 3 24 12 51 2 3 2 3 5 x y x y xy y yy x y x y              Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :       2 25 271 1 2 0 12 4 x y x x y y y x y                           Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :   3 2 23 2 6 2 3 5 4 1 4 6 0 ( 3 5 ) 2 3 5 4 y y y y y y yy y                         Trường hợp 1 : 1 2 y x     Trường hợp 2 : 4 6 0 ( 3 5 ) 2 3 5 4 y yy y           182 ( 3 5 ) 2 3 5 4 0 2 1 ( 3 5 ) 3 5 1 y y y y xy y                          Vậy hệ có nghiệm là : ; 1 ; 2, 2 ; 1 x y    Bài 33 ( Trần Thị Phương Thảo ). 78.     2 22 22 22 4 1 4 132 2 x y xyx xy yx yx yx y           Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩnx y79. 2 23 32 2 2 23 2 0 ( ) 13 3 x y y y xx yx y x yx y x y              Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có nhân tử chungx y80. 3 3 22 24 4 ( 3 ) 3 ( 1 ) 7 ( 1 ) ( 1 ) 4 x y x y xx y           Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :         3 ; 11 41 ; 31 4              Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được : 3 2 33 4 2 4 12 8 0 x x x y y        Xét hàm số : 3 23 4 2 3 1 f x x x x x       . Ta có : ‘ 3 6 4 0 f x x x    . Hàm số đồng biến1 0 f x f    Xét hàm số : 4 12 8 1 3 g y y y y       . Ta có : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa ‘ 12 12. ‘ 0 1 g y y g y y       BBT : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : 1 0 g y g   Lúc này ta có :         1 1 0 f x g yf x g y f g        Hệ có nghiệm khi và chỉ khi     f x fg y g     Thử lại thấy rằng ; 1 ; 1 x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm là : ; 1 ; 1 x y  Bài 34 ( Nguyễn Thị Thuận ). 81.2 2 ( ) ( 2 2 ) 23 4 4 1 0 x y x x yx y x y           Đặt : ; 1 x y a x b    . Ta có hệ :       2 22 1 2 1 03 2 3 a b ab a a bb a a b              Trường hợp 1 : 2 1 0 b b        VớiHayx y             Với   Hayx y               Trường hợp 2 : 2 1 0 a aa a b b        . Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :         2 2 21 2 0 1 2 1 0 a a a a a a a              Với   1 3 11 ; ; 2 2 2 a b x y             Với   1 3 72 ; ; 2 2 2 a b x y              Vậy hệ có nghiệm là :   3 1 3 7 ; ;, ; 2 2 2 2 x y                Bài 35 ( Đậu Bá Tiệp ). HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa82. 3 2 2 3 2 28 20 18 8 16 5 13 9 45 16 7 x x x x y xy y y y xyy x           Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2 22 5 6 13 4 10 8 0 x y y xy y x x         Trường hợp 1 : 2 0 2 x y y x    . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 35 2 7 1 2 y y y x        Trường hợp 2 : 2 25 6 13 4 10 8 0 y xy y x x      . Ta có :   44 1 0 1 108 y y x           Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm : ; 1 ; 2 x y  83.4 2 26 3 24 24 203 2 x x y yx y yx x         Bài 36 ( Trần Đức Tín ). 84.5 2 3 3 2 54 4 4 3 x x y x y yx y x y        Hướng dẫn : Phương trình thứ nhất có nhân tử   x yBài 37 ( Lê Văn Tố ). 85.4 2 23 3 ( ) 09 ( ) 5 0 x xy x yx y x y x         HPT     2 2 23 3 33 3 3 5 03 3 5 x y x xyx yx y x y x                    Với0 0 x y    Với :   Vô nghiệmVớiy x    Vậy hệ có nghiệm     ; 0 ; 0 1 ; x y       86.2 21 1 32013 2010 22012 ( 2012 ) ( ) ( 4024 ) x yx yx y x y xy x y x y                Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :     20122012 2 2012 02012 2 y x yx y        Với2012 2012 y x     Với : 2012 2 x y  . Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa2012 20121 1 3 112012 2012 11 20124025 2 2010 2 2112012 11 2012 y xy y xy yy x                       Vậy hệ có nghiệm :     11 11 ; 2012 ; 2012, 11 2012 ; 2012, 11 2012 ; 20122 2 x y                        Bài 38 ( Nguyễn Thị Trang ). 87.3 2 3 22 2 24 5 3 ( 2 3 ) 91 6 8 1 x x y y x yx x y y               Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :             3 2 3 21 1 1 2 2 2 x x x y y y            Xét hàm số : 3 2 f t t t t   . Ta có : ‘ 3 2 1 0 f t t t     Nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất có dạng : 1 2 1 2 3 f x f y x y x y           Thếx y   Vào phương trình thứ hai của hệ ta được : Vậy hệ có nghiệm : ; 1 ; 4, 1 ; 2 x y   88.3 2 22 22 367 23 8 33 18 37 6 14 x xy y x yy x xy x y            Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :     2 22 27 6 14 0106 7 14 0 x x y y yy y x x x                                 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta lại có : 3 2 3 212 12 367 54 54 18 144 x x x y y y        Xét hàm số : 3 212 12 367 f x x x x    với102 ;       Ta có : ‘ 36 24 367 0 f x x x     Nên hàm số đồng biến2 878 f x f    Xét hàm số : 3 254 54 18 g x y y y     Với1 ;       Ta có : ‘ 162 108 18 0 g y y y     . Nên hàm số nghịch biến   1022 g y g           Lúc này ta có :       1442 144 f x g yf x g y f g                Hệ có nghiệm khi và chỉ khi   f x fg y g               Thử lại thấy rằng   ; 2 ; x y       thỏa mãn nhu cầu phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm   ; 2 ; x y           2 24 13 2 1 3 12 1 y xy yy x             HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa90. 2 2 2 2 2 22 24 3 7 4 ( 5 6 ) 3 23 10 34 47 x xy y x xy y x xy yx xy y            Hướng dẫn : Nhân lien hợp phương trình thứ nhất của hệ. 89.3 3 2 22 2874 5 16 62 2 2 2 1 x y y x x yx y x y           Từ phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 12 21 32 2                         Xét hàm số :   3 21 34 162 2 f x x x x x            . Ta có : ‘ 0 f x   Vô nghiệmBBT : Từ bảng biến thiên ta thấy :   1 312 4 f x f          Xét hàm số :   3 23 15 62 2 g y y y y y             . Ta có :   5 7 ‘ 0 g y y      BBT : Dựa và bảng biến thiên thấy :   3 92 8 g y g         HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaTa có :         711 3 712 2 8 f x g yf x g y f g                     Hệ có nghiệm khi và chỉ khi     f x fg y g                           Thử lại thấy rằng   1 3 ; ; 2 2 x y         . Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm   1 3 ; ; 2 2 x y          Bài 39 ( Phạm Thị Trà ) 92.3 3 2 22 25 8 100 ( ) 5 133 3 33 4 4 0 x y x y x xy xx y xy x y              Từ phương trình thứ hai của hệ ta có :           2 22 23 4 4 0 1 3 7 04 3 04 3 4 0 x x y y y y yx xy y x x x                                          Thếxytừ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 2 3 23 18 45 3 2 8 108 x x x y y y       Xét hàm số :   3 23 18 45 0 f x x x x x           . Ta có : 9 6 45 0 x x    Nên hàm số đồng biến   4 8923 9 f x f          Xét hàm số :   3 3 8 1 g y y y y y           . Ta có   ‘ 0 g y y    BBT : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :   4 803 9 g y g         Ta có :     1084 43 3 f x g yf x g y f g                   Hệ có nghiệm khi và chỉ khi     f x fg y g                   Thử lại thấy rằng   4 4 ; ; 3 3 x y      . Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc HứaVậy hệ có nghiệm :   4 4 ; ; 3 3 x y       93.   ( 11 6 9 ) 14 9 ( 2 ) ( 2 3 ) 11 3 7 y x y x xy x x y y y xy x           Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :         3 11 92 2 3 0 111 9 9 14 9 x yx y y xyy x y x xy x                    Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có : 11 12 3 2 2 3113 11 3 9 0 y x xy x y                 3 11 92 3 011 9 9 14 9 x yy xyy x y x xy x           Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi3 11 9 0 xyx y      Vô nghiệmNên từta có : 2 0 2 x y y x     Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 22 3 72 73 74 147 0 1 2 x x x x x y           Vậy hệ có nghiệm là : ; 1 ; 2 x y . Bài 40 ( Nguyễn Thị Trinh ) 94.3 3 3 2 24 2 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 4 ) 28 324 1 5 x y x y y x x yx y            Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :     2 21 1 3 3 x x y y        Xét hàm số : f t t t  . Ta có : ‘ 3 1 0 f t t    Nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất có dạng2 21 3 4 f x f y x y      . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có :   2 2 24 2 64 4 1 5 4 3 5 1 9 14 16 03 3 y y y y y y y x                   Vậy hệ có nghiệm :   2 6 8 ; ; 3 3 x y           Bài 41 ( Trần Thị Cẩm Tú ) 95.2 22 22 22 13 3 5 8 x yx yy x              ĐK : ; 0 x yHỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa         2 23 3 2 2 2 23 33 2 2 3 2 22 2 83 3 5 2 2 2 2 23 3 5 16 82 2 0 2 1 0 2 0 2 x y y yHPT x y xy xy x x y y y y x y y yx y xy xy x yx xy x y y x y x y x xy y x y x y                                    Thếx yVào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 24 2 2 8 0 1 2 y y y y x         Vậy hệ có nghiệm : ; 2 ; 1 x y  96.3 3 ( ) ( 1 ) x y x yxy y x x y                  3 33 32 22 1 2 13 3 3 3 1 x y x yHPT x y x y y yxy x y x y                 Xét hàm số : f t t t  . Ta có : ‘ 3 2 0 f t t    Nên hàm số đồng biến. Phương trình có dạng1 2 1 f x y f y x y       Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 20 12 26 12 3 0 1 22 21 2 y xy y y y xy x                      Vậy hệ có nghiệm :     2 2 2 2 ; 1 ; 0, ; 1 2, ; 1 22 2 x y                          98. ( ) ( 6 6 1 ) 3 7 ( ) ( 6 6 1 ) 2 11 0 x y x y xyx y y x xy            2 22 26 6 3 7 02 4 06 6 2 11 0 x x y y xyHPT x xy xx x y y xy                     Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :       4 3 3 23 46 23 39 52 60 0 3 3 2 2 3 10 02 32 2 y xy y y y y y y yy x                      Vậy hệ có nghiệm là :     3 2 ; 4 ; 3, ; 2 3 x y          99. ( 6 3 ) 3 ( 8 3 9 ) 8 24 417 ( 3 ) 1 3 17 x y xy y y x yx x y y y y                VớiThì hệ vô nghiệmVới. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 3 3 3 6 3 8 0 3 2 4 3 x x x y y x y y x y x y               Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :       4 4 6 3 1 2 17 y y y y y        ĐK : 1 6         1 5 191 3 0 1 13 17 4 4 6 y yPT y y y xy y y                        HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢPPhan Thị Minh Ngọc C1K36 trung học phổ thông Đặng Thúc Hứa100. 3 2 4 91 02 3 61 0 x xy x yy xy x y                 2 22 3 2 4 91 06 6 5 5 1 0 2 3 1 3 2 1 03 2 3 61 0 x xy x yHPT x y x y xy x y x yy xy x y                         Với3 12 3 1 0 x y x     . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 3 413 2 123 041 6813 13 y xy yy x             Với : 2 1   . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 2 161 92 61 y x         Vậy hệ có nghiệm là :       61 41 ; 4 ; 3, ;, 61 ; 9213 13 x y           Bài 42 ( Trần Thị Ái Vân ) : 101.   3 7 42 1 ( 2 1 ) x y y xy y xy x x xy          Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có : 3 3 1 1 x y x y x x        Xét hàm số : 3 0 f t t t t    Ta có : ‘ 6 1 0 f t t    Nên hàm số đồng biến. Phương trình thứ nhất có dạng : 2 1 1 y x   Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có : 4 4 4 0 x y x y x y y x        Vớix y  Thay vàothì phương trình vô nghiệm. Với4 4 4 0 x y x y y x       kết hợpta có :   0 14 7 11 01 9 x yx x xx y           Vậy hệ có nghiệm là : ; 0 ; 1, 1 ; 9 x y  103.2 24 2 23 3 32 2 2 x x y yx y          Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ suy rax y   106.2 2 2 2 22 2 23 8 5 3 ( 5 ) 3 9 10 ( 3 5 ) ( 5 3 ) 27 509 x xy y y xy x xy yx y x y x             Hướng dẫn : Nhân phối hợp phương trình thứ nhất của hệ. 108. ( 4 11 ) 2 7 ( 3 4 ) 2 3 02 2 3 4 3 2 8 10 x x y yx y y x y y               Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số : 2 3 f t t t   109.2 23 3 ( 4 ) 4 ( 4 ) 3 015 15 x x x xx xy y y yx xy x                     Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất có nhân tử

Source: https://ta-ogilvy.vn
Category: Hỏi Đáp