bài tập về chuỗi số có lời giải chi tiết

Ngày đăng: 27/04/2016, 07:49

Mục lụcLời mở đầu. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ii1 CHUỖI SỐ 11.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ. .. .. . 11.1.1 Định nghĩa. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 11.1.2 Phần dư của chuỗi hội tụ. .. .. .. .. .. .. . 21.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ. .. .. .. .. .. .. 31.1.4 Các phép toán trên các chuỗi hội tụ. .. .. .. . 31.1.5 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ. .. .. .. . 41.2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG. .. .. .. .. . 41.2.1 Định nghĩa. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 41.2.2 Dấu hiệu so sánh. .. .. .. .. .. .. .. .. . 51.2.3 Dấu hiệu tích phân. .. .. .. .. .. .. .. . 71.2.4 Dấu hiệu Cauchy. .. .. .. .. .. .. .. .. . 91.2.5 Dấu hiệu D’Alembert. .. .. .. .. .. .. .. 101.2.6 Dấu hiệu Raabe. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 121.2.7 Dấu hiệu Gauss. .. .. .. .. .. .. .. .. . 141.3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓDẤU BẤT KỲ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 141.3.1 Các định lý Dirichlet và Abel. .. .. .. .. .. 161.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ. .. .. .. 18iLời mở đầu….iiChương 1CHUỖI SỐBÀI TẬPBài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi1. P∞n=1n3n − 1GiảiĐặt un =n3n − 1Ta có limn→∞un = limn→∞n3n − 1=136= 0⇒ limn→∞un 6= 0 Vậy chuỗi P∞n=1n3n − 1là chuỗi phân kỳ2. P∞n=1 2n − 12n + 1n+1GiảiĐặt un =2n − 12n + 1n+1Ta cólimn→∞√n un = limn→∞ns2n − 12n + 1n+1= limn→∞ns2n − 12n + 1n·2n − 12n + 1= limn→∞2n − 12n + 1·nr2n − 12n + 1= 13. P∞n=11nGiải1Đặt un =1n, un+1 =1(n + 1)Xét limn→∞un+1un= limn→∞n(n + 1) = limn→∞1n + 1= 0 < 1.Vậy theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi P∞n=11nlà chuỗi hội tụ4. P∞n=1sinπ3nGiảiĐặt un = sinπ3nXétlimn→∞un = limn→∞sinπ3n= limn→∞sinπ3nπ3n·π3n= limn→∞π3n⇔ limn→∞13nvì13< 1Vậy chuỗi P∞n=1sinπ3nlà chuỗi hội tụ.5.P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n), x > 0GiảiĐặt un =n(x + 1)(x + 2)…(x + n); un+1 =(n + 1)(x + 1)(x + 2)…(x + n)(x + n + 1)+) limn→∞un+1un= limn→∞(n + 1)n·(x + 1)(x + 2)…(x + n)(x + 1)(x + 2)…(x + n)(x + n + 1)= limn→∞n + 1x + n + 1= 1+) limn→∞n·unun+1− 1= limn→∞n·x + n + 1n + 1− 1= limn→∞n·xn + 1=limn→∞nxn + 1= x.Nếu 0 < x < 1 thì chuỗi P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n)là chuỗi phân kỳNếu x > 1 thì chuỗi P∞n=1n(x + 1)(x + 2)…(x + n)hội tụ Mục lục Lời mở đầu CHUỖI SỐ 1.1 1.2 1.3 ii CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phần dư chuỗi hội tụ 1.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ 1.1.4 Các phép toán chuỗi hội tụ 1.1.5 Điều kiện cần đủ để chuỗi hội tụ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Dấu hiệu so sánh 1.2.3 Dấu hiệu tích phân 1.2.4 Dấu hiệu Cauchy 1.2.5 Dấu hiệu D’Alembert 10 1.2.6 Dấu hiệu Raabe 12 1.2.7 Dấu hiệu Gauss 14 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓ DẤU BẤT KỲ 14 1.3.1 Các định lý Dirichlet Abel 16 1.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 18 i Lời mở đầu ii Chương CHUỖI SỐ BÀI TẬP Bài 1: Xét hội tụ chuỗi ∞ n n=1 3n − Giải n 3n − Ta có lim un = lim Đặt un = n = =0 n→∞ 3n − n→∞ ∞ ⇒ lim un = Vậy chuỗi n→∞ ∞ 2n − 2n + n=1 n+1 Giải Đặt un = n chuỗi phân kỳ n=1 3n − 2n − 2n + n+1 Ta có lim √ n n→∞ un = lim n→∞ n 2n − 2n + 2n − · n→∞ 2n + = lim n n+1 = lim n→∞ 2n − =1 2n + ∞ n=1 n! Giải n 2n − 2n + n · 2n − 2n + 1, un+1 = n! (n + 1)! un+1 n! Xét lim = lim = < = lim n→∞ un n→∞ n + n→∞ (n + 1)! ∞ Vậy theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi chuỗi hội tụ n=1 n! Đặt un = ∞ sin n=1 π 3n Giải Đặt un = sin π 3n Xét π sin n π π π lim un = lim sin n = lim π3 · n = lim n ⇔ lim n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 3 n n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) Giải Đặt un = n! (n + 1)! ; un+1 = (x + 1)(x + 2) (x + n) (x + 1)(x + 2) (x + n)(x + n + 1) un+1 (n + 1)! (x + 1)(x + 2) (x + n) = lim · n→∞ n→∞ un n! (x + 1)(x + 2) (x + n)(x + n + 1) n+1 = lim =1 n→∞ x + n + +) lim un +) lim n· −1 n→∞ un+1 nx lim = x n→∞ n + = lim n· n→∞ x+n+1 −1 n+1 ∞ = lim n· n→∞ x n+1 n! chuỗi phân kỳ n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) ∞ n! hội tụ Nếu x > chuỗi n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) Nếu < x < chuỗi +∞ n=1 √ n + 2n +∞ n=1 2n = Giải 1 Do √, ∀n > nên > n + 2n 2n +∞ phân kỳ Vì chuỗi n n=1 +∞ √ n=1 chuỗi phân kỳ n + 2n +∞ n=1 n Giải Từ bất đẳng thức 1 < n2 (n − 1)n ∀n ≥ +∞ Suy ra: chuỗi hội tụ n=1 n +∞ sin n sin n = nên n=1 Giải Do lim n→∞ n +∞ sin n=1 phân kỳ n +∞ sin2 n n=1 Giải sin2 Từ lim n→∞ n2 n = ta suy +∞ sin2 n=1 chuỗi hội tụ n +∞ n=2 n.lnn 10.) Giải Xét hàm số:, x ∈ [2, +∞) x.lnx Hàm f hàm liên tục, xác định dương [2, +∞) an = fn, ∀n ≥ f (x) = f (x) = − lnx + < ⇒ f (x) giảm [2, +∞) x2 ln2 x Mặt khác: +∞ +∞ dx = x.lnx d(lnx) = ln(lnx) lnx +∞ = +∞,tích phân phân kỳ +∞ Vậy phân kỳ n=2 n.lnn +∞ 11 n=2 n.lnn.ln (lnn) Giải Xét hàm số: f (x) =, x ∈ [2, +∞) x.lnx.ln2 (lnx) Hàm f hàm liên tục, xác định dương hàm giảm,∀x ≥ ta xét tích phân sau: +∞ +∞ d(ln(lnx)) = ln2 (lnx) ln(lnx) dx = x.lnx.ln2 (lnx) 2 hội tụ +∞ = tích phân ln(ln2) +∞ Suy chuỗi ∞ hội tụ n=2 n.lnn.ln (lnn) nn sinn 12 n=1 n Giải Ta có: an = nn sinn n Do đó: lim n→∞ √ n an = lim n→∞ n nn sinn 2 = lim n.sin = lim n→∞ n n→∞ n Vậy chuỗi cho phân kỳ sin n n =2>1 ∞ 13 n=1 1− n n2 Giải Ta có: an = 1− n n2 Do đó: lim n→∞ √ n an = lim n n→∞ 1− n n2 = lim n→∞ 1− n n ln lim =e n→∞ lim n→∞ 1− n1 lim =e n.ln 1− n1 =e = e− = n n→∞ ln lim − = en→∞ hay x> e chuỗi cho phân kỳ e √ n! √ √ 16 lim √ n→+∞ (2 + 1)(2 + 2) (2 + n) Giải Ta có: √ n! √ √ an = √, (2 + 1)(2 + 2) (2 + n) un ⇒ n· −1 un+1 an+1 = √ (2 + n! (2 + √ =n √ · (2 + 1) (2 + n) √ √ (n + 1)! √ √ 1)(2 + 2) (2 + n + 1) 1) (2 + √ (n + 1)! n+1 =√ 2n n+1 2n =∞>1 n→∞ n+1 Vậy chuỗi cho hội tụ Mà: lim √ Bài 2: Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ ∞ (−1) n100 2n n(n−1) n=1 Đặt un = (−1) n(n−1) n100 2n n100 ; |un | = n n100 Ta có dãy {un } dãy đơn điệu tăng lim un = lim n → ∞ n→∞ n→∞ 100 ∞ n(n−1) n chuỗi phân kỳ ⇒ chuỗi (−1) 2n n=1 ∞ n(n−1) n100 (−1) Vậy chuỗi chuỗi bán hội tụ 2n n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 np+ n Giải Đặt un = (−1)n−1 p+ n1 |un | = 1 n np+ n 1 Ta có |un | = p+ = n n np · n n 1 Đặt an = p, bn = n nn +) an = p chuỗi hội tụ p ≥ chuỗi phân kỳ p < n 1 +) {bn } = = √ dãy đơn điệu giảm n n nn √ √ √ 1 − ln n · ln n = n n e √ ⇒ ∀n > e dãy { n n} dãy đơn điệu giảm ⇒ { √ } dãy đơn n n điệu tăng √ ln lim n n lim ln n n n→∞ n +) lim n = lim n = e = en→∞ n = e0 = n→∞ n→∞ 1 = ⇒ dãy { √ } dãy bị chặn ⇒ lim √ n n n→∞ n n ∞ ∞ |un | = Theo dấu hiệu Abel n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 np+ n Vậy n=1 1 np+ n hội tụ (p ≥ 1) chuỗi hội tụ tuyệt đối Bài 3: Tính tổng chuỗi số sau x2n−1 n=1 2n − Giải x2n−1 Đặt un (x) = 2n − (2n − 1)x2n+1 un+1 (x) | = lim | | = |x2 | < +) lim | n→∞ (2n + 1)x2n−1 n→∞ un (x) ⇒ khoảng hội tụ (−1, 1) ∞ +) Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả vi [0, x] Ta có ∞ S (x) = n=1 x2n−1 2n − ∞ x2n−2 + x2 + x4 + + x2n−2 = = n=1 x x 1 dt = − t2 ⇒ S(x) = = 1 1+t x + dt = ln | 1−t 1+t 1−t 0 1+x ln 1−x x2n−1 Vậy tổng chuỗi n=1 2n − ∞ S(x) = ∞ 1 − x2 1+x ln 1−x (n + 1)xn n=0 Giải Đặt un (x) = (n + 1)xn un+1 (x) (n + 2)xn+1 n+2 | = lim | +) lim | |= lim |x| = |x| < n→∞ un (x) n→∞ n→∞ n + (n + 1)xn ⇒ khoảng hôi tụ (−1, 1) +) Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả tích [0, x] Ta có ∞ x x n S(t)dt = ∞ x (n + 1)t dt = ∞ = 0 o ∞ tn+1 x | = (n + 1) n+1 tn dt (n + 1) xn+1 = x + x + x + x + + xn+1 = x(1 + x + x2 + + xn ) x = 1−x x ⇒ S(x) = S(t)dt = ∞ Vậy tổng chuỗi x 1−x = (1 − x)2 (n + 1)xn S(x) = n=0 (1 − x)2 xn n=1 n ∞ Giải xn xn+1 Đặt un (x) = ; un+1 (x) = n n+1 n un+1 (x) xn+1 · n +) lim | | = lim | | = lim |x| = |x| < n→∞ un (x) n→∞ (n + 1) · xn n→∞ n + ⇒ khoảng hội tụ (−1, 1) +) Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả vi [0, x] Ta có ∞ S (x) = n=1 xn n ∞ = n=1 xn n = + x + x2 + + xn−1 = x ∞ n=1 1−x = − ln |1 − t||x0 = − ln |1 − x| 1−t ∞ xn S(x) = − ln |1 − x| Vậy tổng chuỗi n=1 n ⇒ S(x) xn−1 = ∞ (−1)n (2n − 1)x2n−2 n=0 Giải Đặt un (x) = (−1)n (2n − 1)x2n−2 ; un+1 (x) = (−1)n+1 (2n + 1)x2n un+1 (x) (−1)n+1 (2n + 1)x2n 2n + 1 +) lim | | = lim | | = lim · = n→∞ un (x) n→∞ (−1)n (2n − 1)x2n−2 n→∞ 2n − x−2 x2 < ⇒ khoảng hội tụ (−1, 1) Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả tích [0, x] Ta có x ∞ ∞ n 2n−2 (−1) (2n − 1)t n=0 (−1)n (2n − 1) · dt = n=0 · t2n−1 |x0 2n − ∞ (−1)n x2n−1 = −x + x3 − x5 + + xn2−1 + = n=0 = −x(1 + x4 + x8 + + x2n+4 ) + x3 (1 + x4 + x8 + + x2n+4 ) = x3 − x − x4 x ⇒ S(x) = (S(t)dt) = x3 − x − x4 = (3x2 − 1)(1 − x4 ) + (4x3 (x3 − x) (1 − x4 )2 = 4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − (1 − x4 )2 ∞ Vậy tổng chuỗi (−1)n (2n − 1)x2n−2 n=0 4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − S(x) = (1 − x4 )2 ∞ (−1)n+1 n=1 Giải xn n n n+1 x Đặt un (x) = (−1) n n+2, un+1 (x) = (−1) 10 xn+1 n+1 xn+1 (−1) un+1 (x) n + | = lim n |x| = |x| < +) lim | | = lim | xn n→∞ un (x) n→∞ n→∞ n + n+1 (−1) n ⇒ khoảng hội tụ (−1, 1) n+2 Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả vi [0, x] Ta có ∞ S (x) = n+1 x (−1) ∞ n = n n=1 n n+1 x (−1) n=1 n ∞ (−1)n+1 xn−1 = n=1 = − x + x2 − x3 + + x2n − x2n+1 + = (1 + x2 + x4 + + x2n − x(1 + x2 + + x2n ) 1−x = − x2 x ⇒ S(x) = = ln x 1−t dt = − t2 x dt − t2 0 1+x · (1 − x2 ) 1−x ∞ = n n+1 x (−1) Vậy tổng chuỗi t 1+x dt = ln + |1 − x2 | 1−t 1−x n=1 n ln(1 + x)2 = ln(1 + x) S(x) = ln(1 + x) x4n−3 n=1 4n − Giải x4n−3 x4n+1 Đặt un (x) = ; un+1 (x) = 4n − 4n + ∞ un+1 (x) x4n+1 · (4n − 3) +) lim | | = lim | 4n−3 | = x4 < n→∞ un (x) n→∞ x · (4n + 1) ⇒ khoảng hội tụ (−1, 1) +) Với x ∈ (−1, 1), tổng chuỗi S(x) khả vi [0, x] 11 Ta có ∞ S (x) = n=1 x4n−3 4n − ∞ = n=1 x4n−3 4n − ∞ x4n−2 = n=1 = x2 + x6 + x1 + + x4n−2 + = x2 (1 + x4 + x8 + + x4n + ) x2 = − x4 x x t dt = − t4 ⇒ S(x) = = ln x 1+x · (1 − x2 ) 1−x ∞ Vậy tổng chuỗi n=1 1+x t dt = ln + |1 − x2 | 1−t 1−x dt − t2 (−1)n+1 = ln(1 + x)2 = ln(1 + x) xn S(x) = ln(1 + x) n 12 [...]... là (−1, 1) +) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x] Ta có ∞ x x n S(t)dt = 0 ∞ x (n + 1)t dt = 0 ∞ = 0 0 o 0 ∞ tn+1 x | = (n + 1) n+1 0 2 3 tn dt (n + 1) xn+1 0 = x + x + x + x + + xn+1 = x(1 + x + x2 + + xn ) x = 1−x x ⇒ S(x) = S(t)dt = 0 ∞ Vậy tổng của chuỗi 4 x 1−x = 1 (1 − x)2 (n + 1)xn là S(x) = n=0 1 (1 − x)2 xn n=1 n ∞ 3 Giải xn xn+1 Đặt un (x) = ; un+1 (x) = n n+1... 1) · xn n→∞ n + 1 ⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1) +) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x] Ta có ∞ S (x) = n=1 xn n ∞ = n=1 xn n = 1 + x + x2 + + xn−1 = x ∞ n=1 1 1−x 1 = − ln |1 − t||x0 = − ln |1 − x| 0 1−t ∞ xn là S(x) = − ln |1 − x| Vậy tổng của chuỗi n=1 n ⇒ S(x) 9 xn−1 = ∞ 4 (−1)n (2n − 1)x2n−2 n=0 Giải Đặt un (x) = (−1)n (2n − 1)x2n−2 ; un+1 (x) = (−1)n+1 (2n + 1)x2n un+1 (x)... (−1) Vậy tổng của chuỗi t 1 1+x 1 dt = ln + |1 − x2 | 2 1−t 2 1−x 2 n=1 n 1 ln(1 + x)2 = ln(1 + x) 2 là S(x) = ln(1 + x) x4n−3 6 n=1 4n − 3 Giải x4n−3 x4n+1 Đặt un (x) = ; un+1 (x) = 4n − 3 4n + 1 ∞ un+1 (x) x4n+1 · (4n − 3) +) lim | | = lim | 4n−3 | = x4 < 1 n→∞ un (x) n→∞ x · (4n + 1) ⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1) +) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x] 11 Ta có ∞ S (x) = n=1... n=0 4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1 S(x) = (1 − x4 )2 ∞ 5 (−1)n+1 n=1 Giải xn n n n+1 x Đặt un (x) = (−1) n n+2, un+1 (x) = (−1) 10 xn+1 n+1 xn+1 (−1) un+1 (x) n + 1 | = lim n |x| = |x| < 1 +) lim | | = lim | xn n→∞ un (x) n→∞ n→∞ n + 1 n+1 (−1) n ⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1) n+2 Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x] Ta có ∞ S (x) = n+1 x (−1) ∞ n = n n=1 n n+1 x (−1) n=1 n ∞ (−1)n+1... tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x] Ta có x ∞ ∞ n 2n−2 (−1) (2n − 1)t 0 n=0 (−1)n (2n − 1) · dt = n=0 1 · t2n−1 |x0 2n − 1 ∞ (−1)n x2n−1 = −x + x3 − x5 + + xn2−1 + = n=0 = −x(1 + x4 + x8 + + x2n+4 ) + x3 (1 + x4 + x8 + + x2n+4 ) = x3 − x 1 − x4 x ⇒ S(x) = (S(t)dt) = x3 − x 1 − x4 = (3x2 − 1)(1 − x4 ) + (4x3 (x3 − x) (1 − x4 )2 0 = 4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1 (1 − x4 )2 ∞ Vậy tổng của chuỗi. .. n=1 x4n−3 4n − 3 ∞ = n=1 x4n−3 4n − 3 ∞ x4n−2 = n=1 = x2 + x6 + x1 0 + + x4n−2 + = x2 (1 + x4 + x8 + + x4n + ) x2 = 1 − x4 x x 2 t dt = 1 − t4 ⇒ S(x) = 0 = ln x 0 1+x · (1 − x2 ) 1−x ∞ Vậy tổng của chuỗi n=1 1 1+x 1 t dt = ln + |1 − x2 | 2 1−t 2 1−x 2 1 dt 1 − t2 (−1)n+1 0 = 1 ln(1 + x)2 = ln(1 + x) 2 xn là S(x) = ln(1 + x) n 12 .. .Lời mở đầu ii Chương CHUỖI SỐ BÀI TẬP Bài 1: Xét hội tụ chuỗi ∞ n n=1 3n − Giải n 3n − Ta có lim un = lim Đặt un = n = =0 n→∞ 3n − n→∞ ∞ ⇒ lim un = Vậy chuỗi n→∞ ∞ 2n − 2n + n=1 n+1 Giải. .. n→∞ 100 ∞ n(n−1) n chuỗi phân kỳ ⇒ chuỗi (−1) 2n n=1 ∞ n(n−1) n100 (−1) Vậy chuỗi chuỗi bán hội tụ 2n n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 np+ n Giải Đặt un = (−1)n−1 p+ n1 |un | = 1 n np+ n 1 Ta có |un | = p+ = ... n! chuỗi phân kỳ n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) ∞ n! hội tụ Nếu x > chuỗi n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) Nếu < x < chuỗi +∞ n=1 √ n + 2n +∞ n=1 2n = Giải 1 Do √, ∀n > nên > n + 2n 2n +∞ phân kỳ Vì chuỗi

Source: https://ta-ogilvy.vn
Category: Hỏi Đáp