TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ BAYES

Giả sử ta có nhóm đầy đủ các biến cố $B_{1},B_{2},...,B_n$ ( nghĩa là 2 biến cố bất kỳ đều xung khắc với nhau và tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn: $B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega.$ Biến cố A cần tìm xác suất quan hệ với nhóm đầy đủ như sau: Biến cố A xẩy ra thì suy ra xảy ra biến cố $B_i$ nào đó; còn ngược lại nếu xảy ra biến cố nào đó thì chưa khẳng định biến cố A xảy ra. Khi đó P(A) được tính như sau:

$P(A) = \sum\limits_{i = 1}^n P(B_i) P(A/B_i)$ (Công thức đầy đủ)

$P(B_k/A)=P(B_k).P(A/B_k)/P(A)$ k=1,…,n (Công thức Bayes)

Nhận xét.

Bạn đang đọc: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ BAYES

Cái khó khi tính xác suất bằng công thức đầy đủ và công thức Bayes là phải nhận ra được quy mô bài toán và phải chỉ ra được nhóm đầy đủ những biến cố .

Trước hết ta thấy rằng nhóm đầy đủ là không duy nhất. Chẳng hạn ${B_1},\,{B_2},{B_3}$ nhóm đầy đủ thì ${B_1};\,\overline {{B_1}} \,;\,{B_2};\overline {{B_2}} \,;...$ cũng đều là nhóm đầy đủ. Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ nào có quan hệ với biến cố A phù hợp vớ mô hình?

Nếu bài toán đề cập đến 2 phần, biến cố A tương quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là những trường hợp xẩy ra ở phần đầu. Nếu phép thử gồm 2 bước hay 2 tiến trình ; biến cố A tương quan trực tiếp đến bước sau hay quá trình sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là những trường hợp hoàn toàn có thể của bước một hay quy trình tiến độ 1 .

Ví dụ 1. Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếm $40\%$ sản lượng của nhà máy. Tương tự, phân xưởng II và phân xưởng III chiếm $30\%.$ Tỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng tương ứng là $94\%, \, 96\%$ và $95\%.$

a ) Tìm tỷ suất chính phẩm chung của toàn nhà máy sản xuất .
b ) Lấy ngẫu nhiên từ lô loại sản phẩm của xí nghiệp sản xuất ta bị cái phế phẩm. Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra ?
Lời giải .

a) Bài toán này đề cập đến 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm. Việc tìm tỷ lệ chính phẩm chung của nhà máy tương đương với việc tính xác suất của biến cố: A={Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm, được chính phẩm}. Biến cố A liên quan trực tiếp đến chính phẩm. Do đó theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ là: ${B_i}$ ={Sản phẩm của phân xưởng i}; i=1,2,3.

Vậy ta có :

$\begin{array}{l}P({B_1}) = 0,40;\,\,P({B_2}) = 0,30;\,\,P({B_3}) = 0,30; \\ P(A/{B_1}) = 0,94;\,\,P(A/{B_2}) = 0,96;\,\,P(A/{B_3}) = 0,95 \\ P(A) = 0,4.0.94 + 0,3.0,96 + 0,3.0,95 = 0,949 \\ \end{array}$

(Ở đây các xác suất có điều kiện được tính trực tiếp. Diễn đạt thành lời: $P(A/{B_1})$ là xác suất để lấy ra một chính phẩm với điều kiện các sản phẩm này do phân xưởng I làm ra hay là xác suất để lấy ra một chính phẩm của phân xưởng I; theo đề bài ta có ngay 0,94)

Xem thêm: Chi tiết lịch đi học của học sinh cả nước

b ) Để vấn đáp thắc mắc b ) ta dùng công thức Bayes

$\begin{array}{l} P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,949 = 0,051 \\ P({B_1}/\overline A ) = P({B_1})P(\overline A /{B_1})/P(\overline A ) = 0,4.0,06/0,051 = 0,4706 \\ P({B_2}/\overline A ) = 0,3.0,04/0,051 = 0,2353 \\ P({B_3}/\overline A ) = 0,3.0,05/0,051 = 0,2941 \\ \end{array}$