20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn có diện tích:

Quảng cáo

A. S = 9 π B. S = 12 π. C. S = 16 π. D.S = 25 π .

Hướng dẫn:

Ta có :

<=> |w – 1 + i – 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w – 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó ( 1 ) < => ( x – 7 ) 2 + ( y + 9 ) 2 ≤ 16
Suy ra tập hợp điểm màn biểu diễn số phức w là hình tròn trụ tâm I ( 7 ; – 9 ), nửa đường kính r = 4
Vậy diện tích quy hoạnh cần tìm là S = π. 42 = 16 π
Chọn C .

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A. 5 B. 4 C. 6 D. 8

Hướng dẫn:

Ta có :

Khi z = i thì A = 6
Chọn C .

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. max M = 5 ; min M = 1 B. max M = 5 ; min M = 2
C. max M = 4 ; min M = 1 D.max M = 4 ; min M = 2

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Ta có : M ≤ | z | 2 + | z | + 1 + | z | 3 + 1 = 5 ,
khi z = 1 thì M = 5 nên max M = 5
Mặt khác :

khi z = – 1 thì M = 1 nên min M = 1
Chọn A .

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Ta có :

Mặt khác :

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi z = 2i

Chọn A .

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z|

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi .
Ta có :

=> y2 = 1 – x2 => x ∈ [ – 1 ; 1 ]
Ta có :
P = | 1 + z | + 3 | 1 – z |

Xét hàm số :

Hàm số liên tục trên [ – 1 ; 1 ] và với x ∈ ( – 1 ; 1 ) ta có :

Ta có :
f ( 1 ) = 2 ; f ( – 1 ) = 6 ;

Chọn D .

Quảng cáo

Câu 6 . Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức | u | + | v | ≥ | u + v |, ta được :
2 | z | + | – 4 | = | z2 + 4 | + | – 4 | ≥ | z | 2 => | z | 2 – 2 | z | – 4 ≤ 0 => | z | ≤ √ 5 + 1 .
2 | z | + | z | 2 = | z2 + 4 | + | – z2 | ≥ 4 => | z | 2 + 2 | z | – 4 ≥ 0 => | z | ≥ √ 5 – 1
Vậy | z | nhỏ nhất là √ 5 – 1 khi z = – 1 + i √ 5 và | z | lớn nhất là √ 5 + 1 khi z = 1 + i √ 5
Chọn B .

Câu 7. Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn ∈ R và |z1 – z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. | z1 | = √ 5
B. | z1 | = 3
C. | z1 | = 2

D. |z1| =

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi ; z2 = a – bi .
Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0
Do | z1 – z2 | = 2 √ 3 => | 2 bi | = 2 √ 3 => b = √ 3
Do z1 ; z2 là hai số phức phối hợp của nhau nên z1 ; z2 ∈ R, mà :

Ta có :
( z1 ) 3 = ( a + bi ) 3 = ( a3 – 3 ab2 ) + ( 3 a2b – b3 ) i ∈ R

Chọn C .

Câu 8. Gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z – 2|2 + |z + 2|2 = 26 và

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi Thay vào điều kiện kèm theo thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36
Đặt x = 3.cost ; y = 3 sint. Thay vào điều kiện kèm theo thứ hai, ta có :

Dấu bằng xảy ra khi :

Chọn D .

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z – 3 – 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 – |z – i|2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. | z + i | = 2 √ 41
B. | z + i | = 3 √ 5
C. | z + i | = 5 √ 2
D. | z + i | = √ 41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi .
Ta có : | z – 3 – 4 i | = √ 5 < => ( C ) : ( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 5, tâm I ( 3 ; 4 ) và R = √ 5
Mặt khác :
M = | z + 2 | 2 – | z – i | 2 = ( x + 2 ) 2 + y2 – [ ( x2 ) + ( y – 1 ) 2 ] = 4 x + 2 y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 – M = 0

Do số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai điều kiện kèm theo nên d và ( C ) có điểm chung

Chọn D .

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2 √ 5 B. 3 √ 2
C. √ 6 D. 5 √ 2

Hướng dẫn:

Gọi z = x + y ; khi đó : z – 1 + 2 i = ( x – 1 ) + ( y + 2 ) i
Ta có :

Suy ra tập hợp điểm M ( x ; y ) màn biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 1 ; – 2 ) nửa đường kính R = √ 5 như hình vẽ :
Dễ thấy O ∈ ( C ), N ( – ; – 1 ) ∈ ( C ) ,
Theo đề ta có : M ( x ; y ) ∈ ( C ) là điểm màn biểu diễn cho số phức z thỏa mãn nhu cầu : w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = ( x + 1 ) + ( y + 1 ) i

Suy ra | z + 1 + i | đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất
Mà M, N ∈ ( C ) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn ( C )
Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M ( 3 ; 3 ) => z = 3 – 3 i

Chọn B

Câu 11: Cho hai số phức z1; z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1; M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 – z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2|

Hướng dẫn:

M1 ; M2 đường tròn ( T ) có tâm O ( 0 ; 0 ) và nửa đường kính R = 1
Ta có | z1 – z2 | = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Chọn D .

Câu 12. Cho các số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Gọi A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c. Tính diện tích của tam giác ABC

Hướng dẫn:

Cách 1 : ( Tự luận )
+ Trước hết ta chứng tỏ tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn nửa đường kính bằng 1. Thực vậy : từ giả thiết | a | = | b | = | c | = 1. Nên A ; B ; C đều thuộc đường tròn ( O ; R = 1 ) .
+ Ta chứng tỏ tam giác ABC đều. Chú ý : | a – b | = AB
+ Từ a + b + c = 0 nên a = – b – c => | b + c | = 1 và | c + a | = | a + b | = 1 .
Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có | a + b | 2 + | a – b | 2 = 2 ( | a | 2 + | b | 2 ) nên ta có được | a – b | 2 = 2.2 – 1 = 3 => | a – b | = √ 3 => AB = √ 3 .
Tương tự ta tính được BC = CA = √ 3. Do đó tam giác ABC đều với cạnh bằng √ 3 nên có diện tích quy hoạnh bằng

Cách 2 : Chuẩn hóa bằng những số phức :

Khi đó ta dễ thấy những số phức trên thỏa mãn nhu cầu những điều kiện kèm theo của bài toán .

từ đó ta tìm được diện tích quy hoạnh của tam giác ABC .
Chọn C .

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng .
A. A ; B ; Cthẳng hàng. B. Tam giác ABC là tam giác tù .
C. ΔABC là tam giác đều. D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân .

Hướng dẫn:

Ta có z1 = 2 – i ; z2 = 3 + i ; z3 = 2 i .
Từ trên ta được A ( 2 ; – 1 ) ; B ( 3 ; 1 ) ; C ( 0 ; 2 ) .
Ta được :

– Do nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng từ đó ta được tam giác ABC.

– Dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác đều và cũng không phải tam giác vuông .
Vậy tam giác ABC là tam giác tù .
Chọn B .

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 + 2i| + |z + 2 – i| = 3√2. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z – 3 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Hướng dẫn:

+ Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc : Nếu z ; z ’ lần lượt có điểm trình diễn là A ; A ’ thì | z ‘ – z | = A’A .
+ Xét những số phức z1 = 1 – 2 i ; z2 = – 2 + i ; z3 = 3 – i và z = x + yi lần lượt có điểm trình diễn là A ; B ; C và N.
Khi đó ta có giả thiết là NA + NB = 3 √ 2 ( 1 ) với AB = 3 √ 2 ( 2 ) .
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta được N thuộc đoạn thẳng AB .
Yêu cầu bài toán là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC với ABC là 3 đỉnh của tam giác .
Khi đó minP = NC ; maxP = max { CA, CB } .
+ Ta có đường thẳng AB : x + y + 1 = 0 nên

+ CA = √ 5 ; CB = √ 29 suy ra max P = √ 29 .
Chọn A .

Câu 15. Cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và Biết rằng các điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60 o
B. 90 o
C. 150 o
D. 120 o

Hướng dẫn:

Giả sử zk = xk + yk, khi đó điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) lần lượt là điểm màn biểu diễn cho những số phức z1 ; z2 ; z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
+ Từ giả thiết | z1 | = | z2 | = | z3 | = 3 => OA = OB = OC = 3 nên A ; B ; C đều thuộc đường tròn tâm O, nửa đường kính R = 3 .

( vì | z1 | = | z2 | = | z3 | = 3 ) hay x1 – y1. i + x2 – y2. i = x3 – y3i .

+ Vì OA = OB = 3 và nên OACB là hình thoi với một đường chéo OC = 3.

+ Từ trên suy ra tam giác OAC ; OBC đều cạnh bằng 3 nên ∠ ACB = 120 o
Chọn D .

Câu 16. Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0. Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M – mi.

A. | w | = √ 3 B. | w | = 1 C. | w | = 2 √ 3 D. | w | = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1 ; z2 .
Theo định lý vi – ét ta có :

Đặt | z1 | = x > 0 ; x ∈ R, khi đó ta có :

Từ bất đẳng thức | z1 | + | z2 | ≥ | z1 + z2 | nên ba số | z1 |, | z2 |, | z1 + z2 | là 3 cạnh của một tam giác ( hoàn toàn có thể suy biến thành đoạn thẳng ) .
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được :

Chọn A .

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn . Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z| là:

A. 3 B. √ 5 C. √ 13 D. 5

Hướng dẫn:

Với giả thiết ta có :

Từ đó ta được :

Từ đó bằng cách thay a đơn cử ta được đáp án C .

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với P = |1 + z22| – |1 + z| ?

A. 2 + √ 2 B. 1 + 2 √ 2 C. – 1 + 2 √ 2 D. 2 – √ 2

Hướng dẫn:

Ta có :

nên ta có maxP = P ( 1 ) = 0 ; minP = P ( 0 ) = – √ 2 .

Hàm số nghịch biến trên .
Từ đó ta được max P = P ( – 1 ) = 2 ; minP = P ( 0 ) = – √ 2 .
+ Từ trên ta được :

Chọn A.

Câu 19. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1|z1 = 4|z2|z2 và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z1; trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2|

A. 3 √ 3 B. 8 C. 6 √ 2 D. 5

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận
+ Từ giả thiết | z1 | z1 = 4 | z2 | z2, suy ra | z1 | = 2 | z2 | và ta được z1 = 2 z2 .

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, và z2.

Ta có :

Từ diện tích quy hoạnh của tam giác OMN bằng 8 nên | bx + ay | = 16 hay | ab | = 4 ( 1 ) .
Ta có :

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :

Chọn C .

Câu 20. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 – 3i| = |z2 – 3 – 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 – z2|

Hướng dẫn:

Giả sử M ( a ; b ) là điểm trình diễn của số phức z1 = a + bi, N ( c ; d ) là điểm trình diễn của số phức z2 = c + di
Ta có : | z1 + 5 | = 5 < => ( z1 + 5 ) 2 + b2 = 25
Vậy M thuộc đường tròn ( C ) : ( x + 5 ) 2 + y2 = 25
| z2 + 1 – 3 i | = | z2 – 3 – 6 i | < => 8 c + 6 d = 35
Vậy N thuộc đường thẳng Δ 8 x + 6 y = 35
Dễ thấy đường thẳng Δ không cắt ( C ) và | z1 – z2 | = M .
Bài toán trở thành : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) và đường thẳng 8 x + 6 y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên ( C ), N chạy trên đường thẳng Δ .

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .
PT đường thẳng d là 6 x – 8 y = – 30 .
Gọi H là giao điểm của d và Δ. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn ( C ). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

Vậy K ( – 1 ; 3 ), L ( – 9 ; – 3 )
Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra

Câu 21. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + 3i| = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Giả sử z = x + yi, khi đó :

=> Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2; -3) và bán kính

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất
=> M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn .
Ta có :

Kẻ M1H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có :

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

so-phuc.jsp

Source: https://mix166.vn
Category: Hỏi Đáp